概率数学

20世纪末和21世纪初数学领域最显著的变化是该学科的许多分支对概率方法的日益认可和接受，远远超出了它们在数学中的传统用途数学物理．与此同时，这些方法已经达到了新的严格程度。转折点有时被认为是一个奖项菲尔兹奖2006年，法国数学家文德林•沃纳这是该奖项第一次授予概率学家，但这个话题在那之前就已经占据了中心位置。

如上所述，概率论在20世纪30年代初，柯尔莫哥洛夫将其发展成为数学的一个严谨分支。新方法的早期使用是严格的证明遍历的定理美国数学家乔治·大卫·伯克霍夫在1931年。房间里的空气可以作为这个定理的一个例子。当系统进入时平衡，它可以通过其温度来定义，该温度可以定期测量。所有这些测量值在一段时间内的平均值称为温度的时间平均值。另一方面，可以同时测量房间内许多地方的温度，并将这些测量结果求平均，从而得到所谓的温度空间温度的平均值。遍历定理说，在某些情况下，随着测量次数的无限增加，时间平均值等于空间平均值。这个定理立即被美国数学家约瑟夫·里奥·杜布应用，给出了费雪定律的第一个证明最大可能性英国统计学家罗纳德·费雪(Ronald Fisher)曾提出，这是估计权利的可靠方法参数在拟合给定条件时概率分布到一个集的数据。此后，包括杜布在内的几位数学家发展了严格的概率论美国，保罗利维在法国，和一个集团他曾与亚历山大·辛钦和科尔莫戈罗夫共事苏联．

日本数学家伊藤清(Ito Kiyoshi)扩展了杜布的工作，他在随机过程(即在概率规则下进化的系统)方面做了多年的重要工作。他获得了一份微积分对于这些过程，它将经典微积分中熟悉的规则推广到不再适用的情况。伊藤微积分在现代得到了最著名的应用金融在那里，它支撑着布莱克-斯科尔斯理论方程这是在导数交易。

然而，正如杜布经常观察到的那样，分析学家和概率学家往往彼此保持距离，没有充分认识到严格思考概率问题(通常留给物理学家)或纯粹地思考概率问题的优点分析问题。尽管概率方法在分析中越来越成功数论这一发展是由匈牙利数学家大力推动的保罗Erdő年代在似乎无穷无尽的不同难度的问题中(其中许多问题他都提供了解决方案的资金)。

这一课题的重大突破发生在1981年，尽管这要追溯到19世纪80年代Poincaré的工作。他著名的递归定理天体力学使得在有限空间内运动的粒子将无限频繁地返回并任意接近它曾经占据过的任何位置变得非常合理。在20世纪20年代，伯克霍夫和其他人用动力系统和测量理论，与遍历定理的设定相同。这个结果很快就被剥去了理论的外衣微分方程和应用于空间自身变换的一般设置。如果空间是紧凑的(例如，一个封闭和有界的子集欧氏空间如Poincaré所考虑的，但概念要普遍得多)并且变换是连续的，则递归定理成立。特别是在1981年，以色列数学家希勒尔·弗斯滕伯格展示了如何使用这些思想来获得数论的结果，特别是荷兰数学家巴特尔·范德瓦尔登和匈牙利裔美国数学家的定理的新证明Endre Szemeredi．

Van der Waerden定理指出，如果正整数被分成任意有限个不相交集(即，没有任何公共成员的集)和k是任意的正数整数，则至少有一个集合包含算术长度的顺序k．Szemerédi的定理将这种说法扩展到任何适当大的正整数子集。这些结果引起了人们的兴趣，并影响了一个最惊人的结果:英国数学家本·格林和澳大利亚数学家的证明特伦斯道2004年那套主要的数字(不够大，不能应用Szemerédi的定理)也包含任意长的等差级数。这是一系列的结果之一多样化的陶在2006年获得了菲尔兹奖。

从此，以色列数学家伦Lindenstrauss，奥地利数学家曼弗雷德·艾因西德勒和俄罗斯裔美国数学家阿纳托利·卡托克已经能够应用由俄罗斯数学家格里戈里·马古利斯开创的遍历理论方法的强大泛化，以表明利特伍德的数论猜想对所有整数都是正确的，除了非常小的整数集。这个猜想是关于任意两个无理数，x而且y，可以同时用该形式的有理数近似p/n而且问/n．由于这个和其他遍历理论在数论中的应用，林登施特劳斯在2010年被授予菲尔兹奖。

关于概率问题的一个主要来源是统计力学，它是从热力学还有关于气体运动和其他系统的太多问题维除了概率之外的任何方式。例如，在室温下大约有10个²⁷房间里的气体分子。

通常，物理过程是在晶格上建模的，晶格由大量的点组成，这些点与它们的近邻有联系。由于技术原因，很多工作都局限在平面上的格子上。物理过程是通过赋予一个状态(例如，+1或−1，自旋向上或自旋向下)并给出一个规则来确定每个时刻每个点如何根据其相邻点的状态改变其状态。例如，如果晶格模拟房间里的气体，房间应该被分割成非常小的细胞，细胞中要么没有分子，要么只有一个分子。数学家研究什么样的分布和规则会产生不可逆的状态变化。

一个典型的问题是渗流理论，它在石油矿床的研究中有应用。一个典型的问题开始于平面上整数点的格子坐标，其中一些标有黑点(“油”)。如果这些黑点是随机形成的，或者它们按照某种规律分布，那么形成一个连通的黑点的可能性有多大集群，其中任何黑点都通过一串相邻的黑点连接到任何其他黑点?答案取决于比黑点的数量除以总黑点的数量，然后概率当这一比率超过某一临界尺寸时显著增加。这里的一个中心问题，即交叉概率问题，涉及平面上的一个有界区域，在这个区域内，点的格子被标记出来，边界被划分为多个区域。问题是:一条黑点链连接边界上两个给定区域的概率是多少?

如果采取的观点是问题是根本的有限的和离散的，它是可取的，广泛的离散模型或格导致相同的结论。这就引出了随机晶格和随机图，意思是最典型的。首先要考虑所有可能的初始配置，比如在给定的平面点阵中所有可能不同的黑点和白点分布，或者给定的计算机集合可能连接在一起的所有可能不同的方式。根据为点着色所选择的规则(例如，投掷一枚均匀硬币)或连接两台计算机的规则，人们可以了解哪种类型的格或图最有可能出现(在格的例子中，有大约相同数量的黑点和白点)，这些最有可能出现的格被称为随机图。随机图的研究在物理，计算机科学，以及许多其他领域。

计算机网络是图的一个例子。一个很好的问题是:在网络形成非常大的连接块之前，每台计算机应该连接到多少台计算机?事实证明，对于有大量顶点(例如，一百万个或更多)，其中顶点以概率成对连接p，每个顶点的平均连接数有一个临界值。在这个数字之下，图形几乎肯定由许多小岛组成，在这个数字之上，它几乎肯定包含一个非常大的连接组件，但不会有两个或更多。这个组件被称为Erdös-Rényi模型的巨型组件(以Erdös和匈牙利数学家Alfréd Rényi命名)。

统计物理学的一个主要主题是物质如何改变它们的状态(例如，当它们沸腾时从液体变成气体)。在这个阶段转换，正如他们所说，有一个临界温度，如沸点，以及有用的参数要研究的是这个温度与液体或气体的温度之差。原来，沸腾是用简单的函数这将温差提升到一个叫做临界指数的幂，这对于很多物理过程都是一样的。因此，临界指数的值不是由特定过程的微观方面决定的，而是更一般的东西，物理学家开始谈论指数的普遍性。1982年美国物理学家肯尼斯·g·威尔逊被授予诺贝尔奖物理考试照明该问题通过分析系统在状态变化附近的方式在不同尺度上表现出自相似行为(即，分形行为)。尽管他的工作是卓越的，但它留下了许多需要严格证明的见解，而且它没有提供系统如何表现的几何图像。

维尔纳2006年获得菲尔兹奖的部分工作是与美国数学家格雷戈里·劳勒(Gregory Lawler)和以色列数学家奥德·施拉姆(Oded Schramm)合作进行的，涉及粒子运动路径的各种问题的临界指数的存在性布朗运动，这是关于交叉概率(即粒子越过特定边界的概率)问题的典型设置。沃纳的工作有很大的影响照亮交叉曲线的性质，以及晶格中形成的区域边界随着晶格点数量的增加，这些区域被曲线所包围。特别是，他能够证明波兰裔美国数学家Benoit Mandelbrot关于分形的猜想维(一种形状复杂性的衡量)，这些集合中最大的边界是正确的。

数学家们把这些概率模型看作是连续现实的近似值，他们试图阐明宇宙中发生了什么限制随着近似的无限提高。这将他们的工作与一个古老的数学领域联系起来，一旦限制参数得到保证，就可以应用许多强大的定理。然而，关于这一段的极限，有一些非常深刻的问题需要回答，也有一些问题它失败了，或者在接近过程中必须严格控制收敛根本就不能成立。20世纪80年代，英国物理学家约翰·卡迪(John Cardy)继俄罗斯物理学家亚历山大·波利亚科夫(Aleksandr Polyakov)等人的工作之后，在牢固的非正式基础上建立了大量结果，并通过良好的实验证实了物理学中共形场理论的对称性与六角形晶格中的渗流问题之间的联系，因为晶格的网格缩小到零。在这种情况下，离散模型是通往离散模型的垫脚石连续体模型，因此，正如所指出的，中心问题是建立一个极限的存在性，因为离散近似中的点的数量无限增加，并证明关于它的性质。俄罗斯数学家斯坦尼斯拉夫斯米尔诺夫在2001年建立了三角形格收敛的极限过程，并给出了严格推导Cardy公式的方法。他接着提出了复函数理论和概率论之间的一种全新的联系，使他能够证明关于收敛的非常一般的结果离散连续介质的模型。他的这项工作适用于诸如液体如何流经土壤等问题，他在2010年获得了菲尔兹奖(Fields Medal)。