黎曼
当高斯于1855年去世,在哥廷根被他的帖子彼得·古斯塔夫狄利克雷。一数学家发现研究狄利克雷刺激的存在Bernhard黎曼,他的几对数学的贡献是本世纪最具影响力。黎曼的第一篇论文,其博士论文(1851)在复杂函数的理论,提供了基础的几何处理的函数复杂的变量。他的主要结果保证广泛存在的一类复杂的功能满足只有适度的一般要求和明确表示,复杂的功能可能发生广泛的数学。更重要的是,黎曼取得这个结果是分在一起的理论与理论的复杂的功能调和函数和潜在的理论。今后复杂和调和函数的理论是分不开的。
黎曼然后写的理论傅里叶级数和它们的可积性。他的论文在传统直接从柯西和傅里叶狄利克雷,它标志着一个相当大的进步在精度的概念积分可以定义。1854年,他拿起一个感兴趣的话题高斯,假设躺的基础几何。
几何的研究一直是数学家的核心问题之一。这是语言,主要的主题,希腊数学的支柱小学教育主题,有一个明显的视觉吸引力。似乎容易应用,可以从一个基地天真地理解概念。符合的一般趋势世纪,然而,这只是天真的黎曼选择优化的概念。他提议作为几何的基础更为激进和基本比了。
黎曼从高斯的发现了他的灵感曲率的表面是内在,因此他认为一个人应该忽视欧氏空间每个表面本身和治疗。几何属性,他认为,是一个内在的表面。做几何,得到它就够了集点和测量长度的方法曲线在表面。为此,传统的应用方式微积分研究曲线可以使足够了。但黎曼不停留在表面。他建议几何学家研究的空间维在这种精神,他说,空间的无限维度。
从这个视图几点深远的影响。它取代欧几里德几何许多几何图形的,现在变成了一个。它允许Bolyai和Lobachevsky公认的几何表面的几何形状常数负曲率,从而解决疑虑的逻辑一致性。它强调内在的几何概念的重要性。它帮助打开的空间维度的研究方法。最后但并非最不重要,黎曼的工作确保任何物理的几何性质的调查空间之后会将部分吗经验。一个再也不能说物理空间是欧几里得几何,因为没有但是欧几里德几何学的。这个实现最后摧毁任何希望世界可以回答一个问题的推理。
1857年黎曼发表了数篇论文运用他非常通用的方法来研究复杂数学函数的各个部分。这些论文解决的突出问题之一,扩展的椭圆函数理论集成任何代数函数。开放复杂函数的几个变量理论和黎曼的小说展示了拓扑思想研究中必不可少的复杂的功能。(在后续讲座黎曼表明椭圆函数理论的特例可能被视为复杂功能的研究环面)。
在另一篇论文黎曼处理的问题有多少个质数不到任何给定的数字x。答案是的函数x,高斯推测的基础上广泛的数值大约是证据表明这个函数x/ ln (x)。这是真的,但它直到1896年才被证明,当两者Charles-Jean de la Vallee比利时和普桑Jacques-Salomon阿达玛法国独立证明了这一点。非凡的,一个关于整数的问题导致的讨论函数的一个复杂的变量,但类似的连接先前由狄利克雷。黎曼的表达式Π(1−p−年代)−1=Σn−年代,介绍了欧拉世纪之前,无限的产品是接管'数字p并对所有整数求和n,和治疗它的函数年代。的无限和有意义的时年代是真实的和大于1。黎曼开始研究这个函数当年代是复杂的(现在称为黎曼ζ函数),他不仅从而帮助澄清的质数分布问题但也导致了其他几个讲话,后来数学家找到特殊的兴趣。一个的话继续躲避证明和仍然是一个最伟大的数学猜想:声称nonreal 0ζ函数复数的实部总是等于1/2。
黎曼的影响
1859年狄利克雷死亡,黎曼成为正教授,但是他已经患肺结核,1862年他的健康了。他死于1866年。他的作品,然而,锻炼他的继任者日益增长的影响力。他的工作在三角级数例如,导致深化调查可积函数时的问题。注意力集中在点集的性质及其功能积分(当这些存在)有意想不到的性质。起初出现模糊的结论,但明显的一些性质点集理论的集成中很重要,而另一些则没有。(这些属性被证明是新兴学科的重要组成部分拓扑结构)。点集的性质,在集成与集合的大小。如果一个人可以改变点集上的函数的值没有改变积分,据说是可以忽略不计的大小。天真的想法是集成是一个泛化的计数:集不需要计算可以忽略不计。世纪之交的法国数学家Henri-Leon勒贝格系统化管理这个幼稚的想法到一个新的理论集的大小,其中包括集成作为一个特例。在这个理论中,调用测度理论可以测量的,有集,他们要么积极措施或可以忽略不计(他们没有测量),还有集无法衡量。
第一个成功勒贝格的理论是,与柯西黎曼积分,它遵守规则,如果一个函数序列fn(x)倾向于适当的一个函数f(x),然后积分∫的顺序fn(x)dx倾向于∫积分f(x)dx。这使得它的自然理论积分在处理关于三角级数的问题。(看到图)。另一个优势是,它非常一般。例如,在概率论估计是可取的可能性一个实验的某些结果。通过实施测量空间的所有可能的结果,俄罗斯数学家安德烈柯尔莫哥洛夫是第一个把概率论严格的数学基础。
提供的另一个例子是一个了不起的结果发现的20世纪美国数学家诺伯特•维纳:组内所有连续函数在一个区间,可微函数的设置有测量零。在概率方面,因此,随机的机会,一个函数可微的概率为零。在物理方面,这意味着,例如,一个粒子移动布朗运动几乎可以肯定的是移动nondifferentiable路径。这一发现澄清爱因斯坦的基本思想对布朗运动(显示在不断运动的灰尘颗粒流体的不断轰击下周围的分子)。物理学家的希望理查德·费曼的理论量子电动力学将产生一个类似的理论测量治疗,因为它有令人不安的方面,没有严格的数学理论但协议极好地观察。
另一个设置勒贝格的思想理论李群。匈牙利数学家阿尔弗雷德·哈尔展示了如何定义测量的概念,函数定义在李群集成。这成为了一个至关重要的部分赫尔曼·韦尔代表一个谎言的方法集团的线性空间的所有(合适的)函数组(因为技术原因,合适的手段广场可积的函数对哈尔测度集团)。