的微积分
历史学家卡尔·博耶(Carl Boyer)称微积分是“数学史上最有效的科学研究工具”。作为可变性和变化的数学，微积分是科学革命的典型产物。这门学科是两个数学家的发明，一个是德国人戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和英国人艾萨克·牛顿．两人都在1680年代发表了他们的研究，莱布尼茨于1684年在新成立的杂志上发表了他们的研究Acta Eruditorum牛顿在1687年发表了他伟大的著作论文,原理．尽管两人的追随者后来就优先权问题产生了激烈的争论，但现在可以清楚地看到，他们各自是独立得出这个结论的。
微积分是由解决两类问题的技术发展而来的，确定区域而且卷以及曲线切线的计算。在经典几何阿基米德在这部分数学上进步得最远，用过了吗用尽方法建立严格的关于面积和体积的各种结果派生的对于某些曲线(如螺旋曲线)，有关切线的显著结果。在17世纪早期，人们对这两类问题的兴趣都有了急剧的复苏。1610年到1670年之间的几十年，在数学史上被称为“前微积分时期”，这是一个非常活跃的时期，整个欧洲的研究人员贡献了新的解决方案，并相互竞争，以达到重要的新方法。
微积分前阶段
在他的论文中连续几何，不可分割(1635);《连续不可分几何》)，兰西Cavalieri他是麻省理工学院的数学教授博洛尼亚大学，制定了一个系统的方法来确定面积和体积。和阿基米德一样，卡瓦列里认为平面图形是由一系列不可分割的线组成的，即平面图形的“所有线”。该集合由一个固定的行穿过空间平行于自身。卡瓦列里表明，这些集合可以被解释为服从欧几里得规则的大小比理论。在第二卷的命题4中，他得到了今天所写的结果
已知a平行四边形其中画一条对角线;那么平行四边形的“所有正方形”将是由对角线决定的每个三角形的“所有正方形”的三倍。
卡瓦列里证明了这个命题可以用不同的方式来解释断言例如，a的体积锥三分之一是被限定的体积吗油缸（看到的)，即a的某段下的面积抛物线是相关矩形面积的三分之一。在后来的一篇论文中，他通过证明推广了这个结果
为n= 3到n= 9。为了建立这些结果，他引入了问题变量之间的转换，使用等价于的结果二项式定理为积分指数。其中涉及的思想超出了经典阿基米德内容理论中出现的任何东西。
尽管卡瓦列里成功地建立了一个基于一般概念的系统方法，但他的想法并不容易应用。推导非常简单的结果需要复杂的几何考虑，而且浮夸的的风格Geometria Indivisibilibus是接受它的障碍。
约翰·沃利斯在他的著作中提出了一种完全不同的方法来研究正交理论速算比赛Infinitorum(1655);无限小的算术)．沃利斯，继任者亨利·布里格斯作为牛津大学的萨维廉几何教授，他是新方法的拥护者算术代数这是他从老师那里学来的威廉Oughtred．沃利斯表示了a下的面积曲线等于an的和无穷级数并用得巧妙而不严谨归纳推理来确定它的值。为了计算抛物线下的面积，
他考虑了连续的算式
并通过“归纳法”推导出一般关系
通过让项数为无限，他得到1/3作为表达式的极限值。对于更复杂的曲线，他取得了令人印象深刻的结果，包括现在被称为无限表达式的表达式沃利斯的产品:
的测定方法研究切线而另一门通向微积分的学科，则沿着不同的方向进行。在La Geometrie笛卡尔提出了一种方法，原则上可以应用于任何代数或“几何”曲线。的任意曲线方程是一个多项式两个变量的有限次。这个方法依赖于找到法线，即垂直于切，利用与曲线仅相交于一点的唯一半径的代数条件。笛卡尔的方法被莱顿学会的成员哈德简化了集团这篇论文于1659年发表在范·斯库滕出版的La Geometrie．
一类在17世纪越来越受关注的曲线组成它们是由一个点在空间中运动产生的。著名的摆线例如，曲线是由车轮圆周上的一个点跟踪的，该点在直线上滚动而不滑动(看到的)．这些曲线是非代数的，因此不能用笛卡尔的方法来处理。Gilles Personne de Roberval巴黎Collège Royale的教授，设计了一种方法动力学来确定它们的切线。在他的分析的弹运动伽利略证明了粒子的瞬时速度是多少复合两种不同的运动:a常数水平运动和由于重力而增加的垂直运动。如果运动曲线的产生点的运动同样被看作是两个速度的和，那么切线将位于它们的和的方向上。罗伯瓦尔将这一思想应用于几个不同的运动曲线，得到的结果往往是巧妙和优雅的。
在一篇1636年在法国数学家中流传的文章中，费马提出了一种计算方法切线改编自他设计的确定极大值和极小值的程序，并用它来寻找几种代数曲线的切线y＝xn（看到的)．他的叙述很简短，没有解释这种新方法的数学基础。在他的过程中，我们可以看到一个涉及无穷小的论证，费马有时被宣布为无穷小的发现者微分学．然而，现代历史研究表明，他是在使用Viète介绍的概念，他的方法是基于有限代数思想的。
艾萨克·巴罗卢卡斯数学教授剑桥大学，出版于1670年几何课这篇论文比任何其他论文都更期待微积分的统一思想。在这篇论文中，他采用了一种纯粹的几何形式来说明面积和切线的确定是怎样的逆问题。他先画一条曲线，然后考虑坡它的切线对应于横坐标的每一个值。然后他定义了辅助曲线的纵坐标等于该斜率，并证明了辅助曲线下对应于给定横坐标的面积等于边为单位的矩形和原曲线的纵坐标。当重新解析时，这个结果表达了的逆性质分化而且集成,微积分基本定理（看到的)．尽管巴罗决定继续研究几何，这使他无法迈出真正微积分的最后一步，但他的讲座影响了这两者牛顿和莱布尼茨。