方程的理论

另一个话题是改变了在19世纪的理论方程。尼科洛·塔尔塔利亚和自从罗多维科法拉利在16世纪发现规则给三次和四次方程的解的方程的系数,公式失败一直寻找方程的第五和更高的学位。利害关系的存在是一个公式表示的根五次方程的系数。这个公式,此外,必须只涉及的操作,减法,乘法,除法,一起提取根,因为这是所有的解决方案所需的二次,三次,四次方程。如果存在这样一个公式,五次就会因此被激进分子是可以解决的。

1770年拉格朗日分析所有成功的方法他知道第二,第三,第四方程在试图理解为什么他们工作以及他们如何可以通用。他的分析问题的根源的排列是有前途的,但他越来越怀疑随着岁月的流逝,他的复杂行的攻击可以通过。第一个有效证明不可以解决的,一般五次激进分子提供了只有在他死后,在一个惊人的短论文尼尔斯·亨瑞克亚伯,写于1824年。

亚伯也显示通过示例,一些五次方程被激进分子,一些可以解决的方程可以轻松解决意外。例如,方程x⁵−1 = 0根x= 1,但其余四根可以仅仅通过找到提取广场根,不像预期第四根。因此他提出这个问题:“什么程度高于四个方程可解的激进分子?”

亚伯于1829年去世,享年26,没有解决他提出的问题。然而,几乎立刻,惊人的天才Evariste伽罗瓦突然来到巴黎的数学。他提交的小说理论方程的科学院1829年,但手稿是迷路了。第二个版本也失去了,没有发现在傅里叶的论文当傅里叶,秘书的学院,于1830年去世。伽罗瓦在1832年死于决斗,二十岁的时候,直到他的论文发表在约瑟夫刘维《德方法1846年,他的作品开始接受应得的重视。他的理论最终的理论方程只有一部分组织理论。伽罗瓦强调的集团(他称之为)一个方程的根的排列。这一举动把他远离方程本身和他转向排列的明显更容易处理的研究。任何给定方程对应一个明确的集团,与一个明确的子组的集合。解释这方程被激进分子,哪些不可以解决的,伽罗瓦分析这些子组的方式彼此相关:可解的方程了现在所谓的正常子组循环链商。这个技术条件可以明确多少数学家已经从熟悉的18世纪的数学问题,它标志着现代数学的过渡特征:更换正式的计算概念上的分析。这是一个豪华的纯粹数学家,应用数学家面对具体问题往往承受不起。

根据这一理论,一组是一个集的对象可以成对结合的方式生成的对象也在设置。此外,这种组合方式必须遵守以下规则(这组中的对象表示一个,b等,并结合一个和b写一个*b):

有一个元素 e这样一个*e=一个=e*一个对于每一个元素一个在集团。这个元素被称为身份的元素。
对于每一个元素一个有一个元素,写一个 ⁻¹,属性一个*一个 ⁻¹=e=一个 ⁻¹*一个。的元素一个 ⁻¹被称为逆的一个。
对于每一个一个,b,c在集团结合律持有:(一个*b)*c=一个* (b*c)。

组的例子包括整数和*解释为加法和与*解释为正有理数乘法。重要的属性由某些群体共享,但并不是所有的交换性:对于每一个元素一个和b,一个*b=b*一个。对象的旋转平面上定点周围形成一个交换群,但一个三维物体的旋转一个固定的点形成一个非交换组。

高斯

一种方便的方法来评估数学在19世纪中叶的情况是看最伟大的职业指数,卡尔•弗里德里希•高斯,最后一个人被称为“数学王子。“1801年,同年,他发表了他的探讨Arithmeticae,他重新发现了这颗小行星刻瑞斯(太阳消失在它第一次被发现后不久,在它的轨道精确已知)。他是第一个给的声音的分析方法最小二乘在统计数据的分析。在潜在的理论和高斯做重要的工作,德国物理学家威廉韦伯,建立了第一个电电报。他帮助进行第一次的调查地球的磁场同时,也理论在制图、测量和现场工作。他是一个博学的人,他几乎单枪匹马拥抱其他地方被分开:世界的科学和数学的世界。是他纯粹的数学工作,然而,在其天曾经自从被认为是他天才的最好证据。

高斯的作品改变了理论的数字。他的代数整数躺接近理论方程的伽罗瓦理论重新定义。约会更引人注目的是他的大量作品,从1797年到1820年代,但未在他死后,在椭圆函数理论。1827年,他发表了他的重要发现曲率的表面可以定义intrinsically-that,仅仅在表面内定义的属性和没有引用周围吗欧氏空间。这个结果是决定性的验收非欧几里得的几何学。高斯的所有工作显示大幅关心严谨和拒绝依赖直觉或物理类比,这是作为他的继任者的灵感。他强调实现完整的概念的理解,这可能导致了他不喜欢出版,绝不是最少的有影响力的成果。

非欧几里得的几何学

也许正是这种渴望的概念理解,使高斯不愿公布这一事实他是导致越来越多的“怀疑几何的真实性”,正如他所说的那样。如果有一个逻辑一致的几何图形的不同欧几里德几何学的只因为它做了一个不同的假设平行线的行为,也可以适用于物理空间,所以的真理(欧几里得)几何再也不能放心先天的,因为伊曼努尔康德有思想。

高斯的调查新的几何比别人走得更远,但他没有公布。第一个宣告的荣誉的存在新的几何属于两人,谁是在1820年代末:Nicolay伊万诺维奇Lobachevsky在俄罗斯和Janos Bolyai在匈牙利。因为这两个人的相似之处的工作远远超过了差异,方便描述他们一起工作。

平行线的两人做了一个假设,不同于欧几里德,然后画出它的后果。这样的工作方式不能保证一致性的结果,因此,严格地说,他们不能证明一个新的几何图形的存在。两人都描述了一个三维空间不同于欧几里得空间的埋伏他们的发现的语言三角函数。他们获得的公式是恰当的类似物的公式描述三角形表面上的球代替通常的三角函数,双曲三角。双曲余弦函数,编写cosh双曲正弦,书面sinh,定义如下:coshx= (e^x;+e^−x)/ 2,sinhx= (e^x−e^−x)/ 2。他们被称为双曲因为使用的描述双曲线。他们的名字源自明显与三角函数的类比,欧拉显示满足这些方程:因为x= (e^我x+e^−我x)/ 2,罪恶x= (e^我x−e^−我x)/ 2我。公式是给Lobachevsky和Bolyai给所需的精度信念在缺乏合理的逻辑结构。两人都注意到,它已经成为一个经验来确定空间的性质,甚至Lobachevsky进行天文观测,尽管这些证明是不确定的。

Bolyai和Lobachevsky差强人意。高斯支持他们做了什么,但是,小心翼翼地,大多数数学家没有发现他真正的意见在这个问题上,直到他死了。面临的主要障碍每个人无疑是令人震惊的自然的发现。这是简单,符合2000年的传统,继续相信欧几里德几何是正确的,Bolyai和Lobachevsky曾误入歧途,像许多一名调查员。

转向接受出现在1860年代,Bolyai和Lobachevsky死了之后。意大利数学家Eugenio贝尔特拉米决定调查Lobachevsky的工作到另一个地方,如果可能的话,在上下文的微分几何高斯的重新定义。因此他独立的方向已经被移动Bernhard黎曼。贝尔特拉米调查的表面常数负曲率,发现这样一个表面三角形听从双曲三角函数的公式Lobachevsky发现了适合他的非欧几里得的几何形式。因此,贝尔特拉米首次严格的非欧几里德几何描述。贝尔特拉米的恒定负曲率的表面是巧妙的。他说,这是一个抽象的表面可以通过画地图的描述,就像有人可能会描述一个球体通过地理图集的页面。他并没有宣称已构造的表面嵌入式在欧几里得二维空间;大卫希尔伯特后来显示,它不能被完成。