矩阵

矩阵,一个集行和列的数字排列,形成一个矩形数组。被称为的数字元素,或条目,矩阵。矩阵有广泛的应用工程,物理,经济学,统计数据以及各分支机构数学。矩阵也有重要的应用计算机图形学,在那里他们被用来代表图像的旋转和其他转换。

从历史上看,这不是矩阵但一定数量与一个正方形的数字称为数组行列式这是第一个承认。只会逐渐作为代数,矩阵的概念实体出现。这个词矩阵介绍了由19世纪英国数学家吗詹姆斯·西尔维斯特数学家,但他的朋友阿瑟·凯莱谁开发的代数方面矩阵在1850年代两篇论文。凯莱首先应用线性方程组的研究,仍然是非常有用的。凯莱承认,他们也重要,因为某些集矩阵形式的代数系统的许多普通法律算术(例如,联想和分配法)是有效的但是其他法律(例如,交换律)是无效的。

如果有米行和n列,矩阵是一个“米通过n“矩阵,写”米×n”。例如,

是一个2×3矩阵。一个矩阵n行和n列被称为方阵的秩序n。一个普通的数量可以被视为1×1矩阵;因此,3可以被认为是矩阵[3]。一个矩阵和只有一个行n列被称为行向量矩阵只有一列和n行被称为列向量。

在一个共同的符号,一个大写字母代表一个矩阵,和相应的小写字母与双下标描述矩阵的一个元素。因此,一个_ij元素吗我th行和j矩阵的列一个。如果一个上面所示的2×3矩阵,然后呢一个₁₁= 1,一个₁₂= 3,一个₁₃= 8,一个₂₁= 2,一个₂₂=−4,一个₂₃= 5。在某些情况下,可以添加矩阵和增加个人实体众所周知,重要的数学系统矩阵代数。

在系统的矩阵自然发生联立方程。在以下系统的未知数x和y,数字数组是一个矩阵,其元素是未知数的系数。方程的解决方案完全取决于这些数字和特殊安排。如果3和4是交换,解决方案不会是相同的。

两个矩阵一个和B彼此是平等的,如果他们拥有相同的行数和列数,如果一个_ij=b_ij为每一个我和每个j。如果一个和B是两个米×n矩阵,它们的和年代=一个+B是米×n矩阵的元素年代_ij=一个_ij+b_ij。的每个元素年代等于元素之和在相应的位置吗一个和B。

一个矩阵一个可以乘上一个普通的号码吗c,这被称为标量。产品用cA或交流矩阵的元素ca_ij。

一个矩阵的乘法一个由一个矩阵B产生一个矩阵C只有当定义第一个矩阵的列数一个等于第二个矩阵的行数B。确定元素c_ij,这是在我th行和j列产品,第一个元素我th排一个乘以第一个元素的jth列B,第二个元素行第二个元素的列,等等,直到最后一个元素的行乘以列的最后一个元素;所有这些产品给出了元素的总和c_ij。在符号的情况一个有米列和B有米行,矩阵C尽可能多的行吗一个和尽可能多的列B。

与普通数字的乘法一个和b,在这ab总是等于英航,矩阵的乘法一个和B不是交换。然而,联想和分配。当操作是可能的,下列方程总是适用:一个(公元前)= (AB)C,一个(B+C)=AB+交流,(B+C)一个=英航+CA。如果2×2的矩阵一个的行(2、3)和(4、5)乘以本身,那么产品,通常写什么一个²21行(16日)和(28日37)。

一个矩阵O0被称为所有的元素零或零矩阵。一个方阵一个与1 s主对角线(左上到右下)和0年代其他地方被称为一个身份、单位矩阵。它是表示通过我或我_n表明其订单n。如果B任何方阵和吗我和O单位和零矩阵相同的顺序,这总是事实B+O=O+B=B和BI=IB=B。因此O和我就像普通算术的0和1。(事实上,普通算术是特殊情况的矩阵运算矩阵1×1。)

一个方阵一个的元素一个_ij非零只有当我=j被称为一个对角矩阵。对角矩阵的特殊性质,乘法交换律的;也就是说,两个对角矩阵一个和B,AB=英航。跟踪一个方阵的主对角线上的元素的总和。

与每一个方阵一个是一个数字,被称为行列式的一个,表示相同一个。例如,对于2×2的矩阵依据一个=广告−公元前。一个方阵B如果依据被称为非奇异的B≠0。如果B矩阵是满秩的,有一个叫做的倒数B,表示B⁻¹,这样BB⁻¹=B⁻¹B=我。的方程斧头=B,在这一个和B已知矩阵和X是一个未知的矩阵,可以解决独特的如果一个是一个满秩矩阵,然后呢一个⁻¹方程的存在,双方可以增加左边:一个⁻¹(斧头)=一个⁻¹B。现在一个⁻¹(斧头)= (一个⁻¹一个)X=第九=X;因此,解决方案是X=一个⁻¹B。一个系统的米线性方程n未知总是可以表示为一个矩阵方程AX = B在这一个是米×n未知数的系数矩阵,X是n×1矩阵的未知数B是n×1矩阵包含数字等式的右边。

具有重要意义的问题在许多科学的分支如下:给定一个方阵一个的订单n,找到n×1矩阵X,被称为n维向量,这样斧头=残雪。在这里c被称为是一个号码特征值,X被称为一个特征向量。一个特征向量的存在X与特征值c意味着一个特定的变换与矩阵相关的空间一个延伸空间的方向向量X的因素c。