各向异性

各向异性固体在自然界和技术中也很常见。例如单晶;多晶体，其中的晶粒在晶体学方向上不是完全随机的，但有一个“纹理”，通常是由于一些塑性或蠕变流动过程，留下了一个优选的晶粒方向;木材或骨头等纤维性生物材料;而且复合在微观尺度上，材料要么具有增强纤维在基质中的结构，其中纤维朝着单一方向或多个方向(例如，确保沿着多个方向的强度)，要么具有独立材料薄层分层结构。在最一般的情况下，应用的六个组成部分中的任何一个压力推导出所有六种应变分量，并且不缺少弹性常数。在最一般的情况下，似乎有6 × 6 = 36，但是，由于热力学定律，独立弹性常数的最大数目为21(各向同性固体为2)。在许多实际案例中，对称考虑到这一数字远远低于21。例如，立方对称晶体，如岩盐(氯化钠);面心立方金属，如铝、铜或金;以体为中心的立方金属，如低温下的铁或钨;而像金刚石、锗或硅这样的非金属只有三个独立的弹性常数。具有特殊方向且在垂直于该方向的任何方向上具有相同性质的固体被称为固体横向各向同性;它们有五个独立的弹性常数。纤维增强复合材料提供了例子，其中纤维在各向同性或横向各向同性基质中随机放置，但以单一方向排列，以及六方紧密填充的单晶，如锌。

一般线弹性应力-应变关系有这样的形式这些系数C_ijkl被称为张量弹性模。因为ε_吉隆坡都是对称的，可以选择吗C_ijkl＝C_ijlk，和，因为σ_ij是对称的,C_ijkl＝C_jikl．的3 × 3 × 3 × 3 = 81个分量C_ijkl缩减到前面提到的6 × 6 = 36。如属温度的变化,ε_ij以上内容由ε_ij−ε_ij^热,在那里ε_ij^热＝α_ij（θ−θ₀),α_ij是热应变系数的集合吗α_ij＝α_霁．一个替代矩阵表示法有时也被使用，特别是在单晶文献中。这种方法引入了6元素的应力和应变列{σ}和{ε}，定义以便列在转置时(上标T)或按行排列，则为{σ｝^T= (σ₁₁，σ₂₂，σ₃₃，σ₁₂，σ₂₃，σ₃₁)和{ε｝^T= (ε₁₁，ε₂₂，ε₃₃, 2ε₁₂, 2ε₂₃, 2ε₃₁)．这些形式确保标量{σ｝^T｛dε}≡tr([σ] [dε])为单位体积工作的应力增量。应力-应变关系为{σ} = [c) {ε}，其中[c]为弹性模的6 × 6矩阵。因此,c₁₃＝C₁₁₃₃，c₁₅＝C₁₁₂₃，c₄₄＝C₁₂₁₂等等。

热力学因素

在热力学术语中，纯弹性材料响应的状态对应于平衡状态，在此过程中存在纯弹性响应，对应于一系列平衡状态，因此对应于a可逆过程．的热力学第二定律确保单位质量所吸收的热量可以写出来θds,在那里θ热力学(绝对)温度和年代是熵单位质量。因此，以适合于可以使用无穷小应变的情况的方式写出单位体积参考构型的功，并让ρ₀是这个构型的密度，从热力学第一定律可以这样说ρ₀θds+ tr ([σ] [dε) =ρ₀德,在那里e是内部能量单位质量。这个关系表明如果e是熵的函数吗年代和菌株[ε]，如果e是相等的吗ε_ij而且ε_霁,然后σ_ij＝ρ₀∂e([ε]，年代）/∂ε_ij．

或者，可以引入亥姆霍兹自由能f单位质量，其中f＝E−θs = f([ε]，θ)，并展示出来σ_ij＝ρ₀∂f([ε]，θ）/∂ε_ij．后一种形式对应于上面所写的应力-应变关系的变量。有时ρ₀f状态的应变能等温(常数θ)弹性变形;ρ₀e有同样的解释吗绝热（年代=常数)弹性变形，当时间尺度太短而不允许时实现传热向或从变形的元素因为混合部分衍生品必须与顺序无关，最后一个方程的结果是什么∂σ_ij([ε]，θ）/∂ε_吉隆坡＝∂σ_吉隆坡([ε]，θ）/∂ε_ij，这要求C_ijkl＝C_klij，或等价于矩阵[c对称的，[c] = [c］^T，将独立弹性约束的最大可能数目从36个减少到21个。应变能W([ε])θ₀是W([ε])≡ρ₀f([ε]，θ₀) = (¹/₂）{ε｝^T［c) {ε}。

绝热响应的弹性模量与等温响应的弹性模量略有不同。对于各向同性材料，可以方便地用G而且K，等温剪切还有体积模。绝热模G而且K̄然后G＝G而且K̄＝K(1 + 9θ₀Kα²/ρ₀c_ε),c_ε＝θ₀∂年代([ε]，θ）/∂θ,评估在θ＝θ₀和[ε=[0]，是比热在恒张力下。的分数变化体积弹性模量，由括号中的第二项给出，是非常小的，通常在1%或更少的数量级，即使是相对较高的金属和陶瓷α10的数量级⁻⁵/ k。

的分数变化绝对温度在绝热变形过程中，发现涉及到相同的小参数:[(θ−θ₀）/θ₀］_{年代=常量}=−(9θ₀Kα²/ρ₀c_ε) ((ε₁₁+ε₂₂+ε₃₃) / 3αθ₀］．α值为大多数固体元素和无机元素化合物在10的范围内⁻⁶到4 × 10⁻⁵/ k;室温大约是300k，所以是3αθ₀通常在10的范围内⁻³到4 × 10⁻²．因此，如果体积的分数变化在1%的数量级，这对于在弹性范围内变形的金属或陶瓷来说是相当大的，那么绝对温度的分数变化也在1%的数量级上。由于这些原因，它通常是适当的忽略温度的变化场由于弹性变形，因此要采用纯力学的配方弹性其中绝热响应和等温响应之间的区别被忽略了。

有限弹性变形

当考虑任意变形梯度下的弹性响应时——因为旋转(如果不是应变的话)很大，或者在橡胶等材料中，因为应变也很大——就有必要摒弃无穷小应变理论。在这种情况下，热力学第一定律和第二定律的结合形式是ρ₀θds+相同(F] tr ([F］⁻¹［σ] [dF) =ρ₀德，其中[F］⁻¹是变形梯度[的矩阵逆F］．如果一个包裹的材料因[F]，然后给予一些额外的刚性旋转，自由能f必须在轮换中保持不变。根据极坐标分解[F] = [R] [U]，这就等于说f与旋转部分无关[R的][F]，这就相当于说f是有限应变测量的函数[E^米= (¹/₂) ((F］^T［F]−[我])基于度规的变化，或者就此而言，基于材料应变张量家族的任何成员。因此,有时被称为秒Piola-Kirchhoff应力，由年代_吉隆坡＝ρ₀∂f([E^米]，θ）/∂E^米/_吉隆坡，它被认为f写得是否有相同的依赖E^米/_吉隆坡而且E^米/_路．