几何变形gydF4y2Ba

应变和strain-displacement关系gydF4y2Ba

的形状gydF4y2Ba固体gydF4y2Ba或结构在一个变形随时间变化的过程。描述变形或应变,一定的参考gydF4y2Ba配置gydF4y2Ba采用和被称为未变形的。通常,引用gydF4y2Ba配置gydF4y2Ba选择作为一个没有压力的状态,但这种既无必要,也总是方便。如果时间是衡量从零当身体存在于参考配置,然后大写gydF4y2BaXgydF4y2Ba可以用来表示材料的位置向量点什么时候gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0。在其他时间gydF4y2BatgydF4y2Ba,一个质点gydF4y2BaXgydF4y2Ba会搬到一些空间位置吗gydF4y2BaxgydF4y2Ba。的gydF4y2Ba变形gydF4y2Ba因此被称为映射gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BatgydF4y2Ba),gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba,0)=gydF4y2BaXgydF4y2Ba。位移向量gydF4y2BaugydF4y2Ba然后gydF4y2BaugydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BatgydF4y2Ba)−gydF4y2BaXgydF4y2Ba;同时,gydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BatgydF4y2Ba)/gydF4y2Ba∂tgydF4y2Ba和gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BatgydF4y2Ba)/gydF4y2Ba∂tgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

它是简单写为应变方程形式,而近似一般来说,适用于任何的情况gydF4y2Ba无穷小gydF4y2Ba行元素gydF4y2BadgydF4y2BaXgydF4y2Ba参考配置经历极其微小的旋转和部分的长度变化,变形对应的线素gydF4y2BadxgydF4y2Ba。这些条件都得到满足时|gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba_我gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_jgydF4y2Ba| < < 1。许多固体通常足够刚性的,至少在载荷通常应用于他们,这些条件是在实践中实现的。应变的线性表达式(gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba),适合于这种情况,被称为gydF4y2Ba小应变或无限小应变。应变的表达式也会因为是有效的旋转和部分长度任意大小的变化;这样的表达式称为gydF4y2Ba有限应变。gydF4y2Ba

两个简单类型的应变gydF4y2Ba拉伸应变gydF4y2Ba和gydF4y2Ba剪切gydF4y2Ba压力。考虑一个长方体,bricklike块材料互相垂直的平面,并让物体的边缘是平行于1,2,3轴。如果块变形均匀,所以每个平面脸移动垂直于本身这脸依然存在gydF4y2Ba正交gydF4y2Ba(即。the parallelepiped is deformed into another rectangular parallelepiped), then the block is said to have undergone extensional strain relative to each of the 1, 2, and 3 axes but no shear strain relative to these axes. If the edge lengths of the undeformed parallelepiped are denoted as ΔXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_3gydF4y2BaΔ,那些变形的平行六面体gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba(见gydF4y2Ba图5一个gydF4y2Ba,图代表了参考配置和实线虚线图变形的配置),然后数量λgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba=ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba/ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,λgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba=ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba/ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba和λ=ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba/ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba被称为gydF4y2Ba拉伸比率。有多种方法,拉伸应变可以被定义的。注意的变化gydF4y2Ba位移gydF4y2Ba说,gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba之间的方向指向块的一端,另一个是ΔgydF4y2BaugydF4y2Ba_1gydF4y2Ba=(λgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba−1)ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba。例如,如果gydF4y2BaEgydF4y2Ba_11gydF4y2Ba表示的拉伸应变gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba方向,然后对应变的定义是最常见的理解gydF4y2BaEgydF4y2Ba_11gydF4y2Ba=(长度变化)/(初始长度)=(ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba−ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba)/ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba=ΔgydF4y2BaugydF4y2Ba_1gydF4y2Ba/ΔgydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba=λgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba−1。各种各样的其他措施的拉伸应变可以被定义gydF4y2BaEgydF4y2Ba_11gydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba(λgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba),这个函数gydF4y2BaggydF4y2Ba(λ)满足gydF4y2BaggydF4y2Ba(1)= 0gydF4y2BaggydF4y2Ba′(1)= 1,同意上述定义当λgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba非常接近1。两个常用的此类措施是压力gydF4y2BaE MgydF4y2Ba=(λgydF4y2Ba2gydF4y2Ba/gydF4y2Ba1gydF4y2Ba−1)/ 2,基于度规张量的变化,以及对数应变gydF4y2BaE LgydF4y2Ba= ln(λgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

定义一个简单的剪切应变,考虑相同的长方体,但是现在变形,在飞机上每一点的类型gydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba=常数只在移动gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba方向由一个线性增长的数量gydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba。因此,变形gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba=gydF4y2BaγXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba+gydF4y2BaXgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2BaxgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba=gydF4y2BaXgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,gydF4y2BaxgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba=gydF4y2BaXgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba定义了一个gydF4y2Ba均匀gydF4y2Ba简单的剪切应变gydF4y2BaγgydF4y2Ba和见gydF4y2Ba图5 bgydF4y2Ba。注意,这一毒株引起体积没有变化。对于小应变剪切应变gydF4y2BaγgydF4y2Ba可以确定为减少夹角最初两个垂直的直线。gydF4y2Ba

微小应变张量gydF4y2Ba

小株,或无限小的菌株,gydF4y2BaεgydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba适合情况下|gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba_kgydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_lgydF4y2Ba| < < 1gydF4y2BakgydF4y2Ba和gydF4y2BalgydF4y2Ba。两个无穷小材料纤维,一个最初方向1和2的其他方向,所示gydF4y2Ba图6gydF4y2Ba作为参考配置中虚线和实线变形的配置。在组件的一阶精度gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba),这些纤维的外延的菌株gydF4y2BaεgydF4y2Ba_11gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba_1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba和gydF4y2BaεgydF4y2Ba_22gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba_2gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,减少它们的夹角gydF4y2BaγgydF4y2Ba_12gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba_2gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∂ugydF4y2Ba_1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba。剪应变表示gydF4y2BaεgydF4y2Ba_12gydF4y2Ba然而,一半的gydF4y2BaγgydF4y2Ba_12gydF4y2Ba使用。因此,考虑所有的外延和剪切应变与无穷小纤维在1、2和3的方向点的材料,压力是由集gydF4y2Ba

的gydF4y2BaεgydF4y2Ba_ijgydF4y2Basymmetric-i.e。,gydF4y2BaεgydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba=gydF4y2BaεgydF4y2Ba_霁gydF4y2Ba——形成一个二流张量(即如果笛卡尔参考轴1′,2′,3′是选择,而不是gydF4y2BaεgydF4y2Ba_{吉隆坡gydF4y2Ba}′测定,那么gydF4y2BaεgydF4y2Ba_{吉隆坡gydF4y2Ba}′有关gydF4y2BaεgydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba同样的压力相关的方程gydF4y2BaσgydF4y2Ba_{吉隆坡gydF4y2Ba}′的gydF4y2BaσgydF4y2Ba_ijgydF4y2Ba)。这些数学特性要求存在主应变方向;在每一点上的gydF4y2Ba连续体gydF4y2Ba可以确定三个互相垂直的方向以及纯粹的拉伸应变,没有这些特殊方向之间的剪切应变。主应变方向的方向,和相应的菌株包括最小和最大的张性菌株经验通过纤维材料角度考虑。应变张量的不变量可以定义在一个并联的方式gydF4y2Ba压力gydF4y2Ba张量。gydF4y2Ba

需要注意的一个重要事实是,菌株不能任意点对点的方式不同。这是因为6株组件都是由三个位移组件推导而来。从这样的考虑被称为限制应变结果gydF4y2Ba兼容性关系;身体不会变形,除非他们满意后组合在一起。考虑,例如,平面应变状态的1、2架飞机(这样gydF4y2BaεgydF4y2Ba_33gydF4y2Ba=gydF4y2BaεgydF4y2Ba_23gydF4y2Ba=gydF4y2BaεgydF4y2Ba_{31日gydF4y2Ba}= 0),非零的菌株gydF4y2BaεgydF4y2Ba_11gydF4y2Ba,gydF4y2BaεgydF4y2Ba_22gydF4y2Ba,gydF4y2BaεgydF4y2Ba_12gydF4y2Ba不能任意点对点但必须满足不同gydF4y2Ba

∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaεgydF4y2Ba_22gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba2gydF4y2Ba/gydF4y2Ba1gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaεgydF4y2Ba_11gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba2gydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba= 2gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaεgydF4y2Ba_12gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba

可能通过直接插入验证菌株的位移的关系。gydF4y2Ba

当拉伸和旋转的小行元素允许使用无穷小应变张量的导数gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂XgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba将几乎相同的吗gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba/gydF4y2Ba∂xgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba。频繁,但不总是,它会接受忽略变形之间的区别和未变形的配置在编写可靠的控制方程gydF4y2Ba力学gydF4y2Ba。例如,的微分方程gydF4y2Ba运动gydF4y2Ba的压力是严格正确的只有衍生品相对于畸形的配置,但是,在这种情况下,运动方程可以写相对于未变形的配置。这就是在使用最广泛的固体力学的变体,在形式的线性理论gydF4y2Ba弹性gydF4y2Ba。过程可以不满意,严重问题在一些重要的情况下,然而,列如扣在压缩载荷或弹塑性材料时的应力与应变关系的斜率是现有顺序相同的压力。这样的情况下是最好而不是接近gydF4y2Ba有限变形理论。gydF4y2Ba