问题涉及弹性响应

线性弹性机构的运动方程。

最后的纯机械理论方程线性的弹性(即。,when coupling with the温度场被忽视,或者当等温或绝热反应假设)得到如下。使用的应力-应变关系,写的位移梯度。最后一个表达式压力插入是方程吗运动,替换∂/∂x与∂/∂X在这些方程。在一个各向同性和均匀固体,这些减少被称为纳维方程(在这里,∇=e₁∂/∂X₁+e₂∂/∂X₂+e₃∂/∂X₃,∇²由∇·∇定义的拉普拉斯算符,还是∂²/∂x₁²+∂²/∂x₂²+∂²/∂x₃²如前所述,λμ瘸子是常数,u位移,f身体力,ρ材料的密度)。这样的方程在该地区举行V被固体;从表面上看年代规定了每个组件之一u,或者每个组件的压力向量T(表达的∂u/∂X]),或有时混合物的组件和它们之间的关系。例如,沿着自由滑动平面界面刚性固体,正常的组成部分u和两个切向分量T规定,所有为零。

体波的解决方案

通过寻找身体波解决方案的形式u(Xt)=pf(n·X−ct),单位向量n是传播方向,p是两极分化,或粒子运动的方向,然后呢c波速度,可能显示解决方案存在的各向同性材料的任意功能f如果任何一第一种情况下,粒子位移方向传播,描述了纵向,或膨胀波;后者的情况下,对应于两个线性无关的位移的方向,两个横向传播方向,描述横向,或剪切波。

线性弹性梁

的情况下梁视为一个线性弹性线也可能被考虑。我们沿着1-axis线(见图7)属性统一的沿着它的长度和有足够的对称弯曲它通过应用扭矩对3-direction导致线变形为一个弧躺在1,2-plane。做一个假想的线,让部分的力和力矩作用在部分躺在减少的方向X₁被表示为一个剪切力V积极的2-direction,轴向力P积极1-direction,扭矩米,通常称为弯矩,积极3-direction。线性和角动量原则要求的行为,部分的线躺在增加的方向X₁大小相等,但方向相反的信号。

现在让这条线被横向力加载F单位长度,直接在2-direction,做出假设的渺小与线性弹性变形一致。让ρA单位长度质量(这样一个可以解释为横截面积的均匀束密度ρ),让u2-direction的横向位移。然后,写X为X₁、线性和角动量原则要求∂V/∂X+F=ρA∂²u/∂t²和∂米/∂X+V= 0,转动惯量一直被忽视的第二个方程,为适合干扰的波长长而横截面尺寸。曲率κ可以近似的弹性线κ=∂²u/∂X²小变形情况考虑,和等效应力-应变关系的假设κ是一个函数的米每一点。函数可以派生的分析的应力和应变在纯弯曲米=EIκ,惯性矩我=∫_一个(X₂)²达对于所有的统一的弹性性质横截面和1-axis经过部分重心。因此,有关的方程线性弹性梁的横向载荷和位移是−∂²(EI∂²u/∂X²)/∂X²+ F =ρA∂²u/∂t²要解决,这是受两个边界条件弹性线的两端。的例子是u=∂u/∂X在完全克制= 0(“建造”),u=米= 0结束,对位移约束但不旋转,和V=米在一个完全不受约束的= 0(免费的)。光束稍后将重新考虑与初始应力响应的分析。

前面的推导,提出了模型的精神欧拉梁的弹性线。相同的运动方程可以通过以下五个步骤:(1)集成三维运动方程在一个部分,写作V=∫_一个σ₁₂达;(2)整合的产物X₂这些方程在一个部分,写作米=−∫_一个X₂σ₁₁达;(3)假设飞机最初躺沿着垂直于纤维1-axis期间保持垂直变形,所以ε₁₁=ε₀(X t)−X₂κ(X t),X≡X₁,ε₀(X t)是沿着1-axis纤维的应变,和κ(X t)=∂²u/∂X²,在那里u(X t)是u₂沿着1-axis纤维最初;(4)假设压力σ₁₁与应变,好像每一个点是在单轴拉伸下,这样σ₁₁=Eε₁₁;和(5)忽视的秩序h²/l²而统一,h是一个典型的截面尺寸和l是一个标尺长度沿1-axis的方向变化。在步骤(1)的平均值u₂在区域一个进入但可能被解释为位移u步骤(3)在(5)订单保留。运动的假设(3)和(5)一起,如果实现这样没有载荷条件下生成一个净轴向力P,要求ε₀(X t)= 0κ(X t)=米(X t)/EI当1-axis已经选择通过横截面的形心。因此,根据这些近似,σ₁₁=−X₂米(X t)/我=−X₂E∂²u(X t)/∂X²。的表达式σ₁₁是准确的静力平衡在纯弯曲,因为假设(3)和(4)是准确、(5)是无关紧要的。这促使使用假设(3)和(4)的情况下,不对应于纯弯曲。

有时有必要处理固体已经在压力下的参考配置选择测量应变。作为一个简单的例子,假设梁只是讨论下一个初始均匀拉应力σ₁₁=σ⁰即,轴向力P=σ⁰一个。如果σ⁰是负的和重要的大小,通常是指梁作为列;如果是大的和积极的,光束可能更像绷紧的弦。最初的压力σ⁰一项有助于小横向运动的方程,它现在变得−∂²(EI∂²u/∂X²)/∂X²+σ⁰一个∂²u/∂X²+F=ρA∂²u/∂t²。

免费的振动

假设梁的长度l统一的属性,是hinge-supported结束X= 0和X=l这u=米= 0。然后免费的横向运动的梁,解决上述方程F= 0,所描述的任何解决方案的实部的线性组合的形式u=C_nexp (iω_nt)罪(nπX/l),n是任何正整数,C_n是一个任意复杂的常数,和在哪里定义了角振动频率ω_n相关的nth模式下,在单位时间内单位的弧度。振动周期单位时间的数量ω_n/ 2π。方程(117年)是这样安排,括号中的词显示修正,的统一,将自由的表达式给出的频率振动当没有束σ⁰。修正的团结很重要,虽然σ⁰/E总是远小于统一(有趣的情况下,10⁻⁶,10⁻³将是一个代表范围;一些散装材料形式将保持弹性或抵抗骨折在更高σ⁰/E,虽然好钢琴丝可能达到10⁻²)。结果,因为修正项的意义σ⁰/E乘以一个术语,可以成为一个巨大的光束,长相比,其厚度;正方形的边长h这个词(在其最大的,当n= 1)艾尔²/π²我≈1.2l²/h²,它可以结合有一个小σ⁰/E产生一个修正项括号内统一相比是相当可观的。当σ⁰> 0,l足够大括号表达式比团结,EI项抵消和梁只是像响应绷紧的弦(在这里,字符串表示的对象无法支持一个弯矩)。当振动模式的数字n足够大,stringlike影响变得微不足道,beamlike响应接管;在足够高的n那l/n减少订单一样吗h,简单梁理论变得不准确,应该换成三维弹性,或者至少,一种改进的梁理论,考虑转动惯量和剪切变形性。(而选择使用三维弹性等问题提出了一个不可逾越的障碍的大部分历史,1990年的可用性计算能力和容易使用软件让它变成一条常规的问题,可以通过本科学习工程师或物理学家使用有限元方法或其他计算力学技术)。