压力

假设F和米来自两种力量,即身体的力量f,如重力attractions-defined这样力fdV作用于体积元素dV(见图1)——表面力,代表物质的机械效应立即毗邻,沿表面年代的体积V正在考虑。柯西正式在1822年的一个基本假设连续介质力学这样的表面力可以表示为压力向量T这样定义的TdS是一种元素的力作用在该地区吗dS的表面(图1)。因此,线性和原则角动量采取的形式现在假定适用任何选择的区域V。在计算右手边,来自dP/dt和dH/dt,它已经被注意到ρdV是一种元素的质量,因此定常;同时,一个=一个(xt)=dv/dt是加速度,时间吗导数的v下面是一个质点的运动,这样吗一个(xt)dt对应的区别v(x+vdt, t+dt),v(xt)。更详细的分析这一步表明的理解TdS表示现在必须调整包括平均值,在时间和空间尺度上的微尺度相比大的波动,动量转移的整个表面年代由于所描述的关于运动的微观波动宏观速度v。

九个数量σ_ij(我,我= 1,2,3)被称为压力组件;这些将随位置和time-i.e。,σ_ij=σ_ij(xt)——有以下解释。考虑一个元素的表面dS通过一个点x与dS导向,使其外正常(指向远离该地区V有界的年代)点积极的东西x_我方向,我的1、2或3。然后σ_我1,σ_我2,σ_我3在x被定义为笛卡尔组件的压力向量T(称为T^(我))作用于这个dS。图2显示了组件的压力向量在每个三个坐标方向。使用一个向量e₁,e₂,e₃沿着坐标轴表示单位向量(图2),T^(我)=σ_我1e₁+σ_我2e₂+σ_我3e₃。因此,压力σ_ij在x压力吗j与一个方向我生产型企业面临通过点x;的物理尺寸σ_ij(力)/(长度)²。的组件σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃强调定向垂直,或正常,面对他们的行为和正常的压力;的σ_ij与我≠j直接面对平行法和剪切应力。

通过假设线性动量原理适用于任何卷V。考虑一个小四面体(图3)x用一个倾斜的脸向外单位法向量n和其他三个脸面向垂直于三个坐标轴。让四面体的规模缩小到零,线性动量原理要求压力向量T与外表面元素正常n被表示为一个线性的函数σ_ij在x。是这样的关系j组件的压力向量T是T_j=n₁σ_1j+n₂σ_2j+n₃σ_3j(j= 1,2,3)。这个关系T(或T_j)也证明了σ_ij数学属性是一个二流的组件吗张量。

假设一组不同的笛卡尔参考轴1′,2′,3′已经选定。让x₁′,x₂′,x₃′表示的组件位置矢量的点x,让σ_吉隆坡′(k, l= 1,2,3)表示九个组件相对于压力坐标系统。的σ_吉隆坡′可以写成3×3矩阵(σ′),σ_ij随着矩阵(σ),第一个索引矩阵行数,第二个是列数。然后的表达式T_j意味着(σ′)= (α][σ][α]^T,这是一个二流张量的定义方程。这里(α)是正交变换矩阵,组件α_魁人党=e_p′·e_问为p, q= 1、2、3和令人满意的α]^T(α]= [α][α]^T= (我),上标T表示转置(交换行和列)和(我表示单位矩阵,与团结每一个3×3矩阵对角线元素和零在别处;此外,矩阵乘法,如果(一个]= [B][C),然后一个_ij=B_我1C_1j+B_我2C_2j+B_我3C_3j。

方程运动

现在的线性动量原理可以应用到任意有限的身体。使用的表达式T_j以上,多变量微积分的散度定理,即积分在一个封闭曲面的面积年代,被积函数n_我f(x),可以写成积分除以体积V包围年代,被积函数∂f(x)/∂x_我;当f(x)是一个可微函数,可以得到至少当σ_ij是连续可微的,这是典型的案例。的运动方程连续体。一旦上述线性动量原理的后果是接受,只有进一步的结果,可以来源于角动量原则是σ_ij=σ_霁(我,我= 1,2,3)。因此,应力张量是对称的。

主要强调

应力张量的对称性的重要后果,每一点x,存在三个互相垂直的方向沿着没有剪切应力。这些方向称为主应力方向,和相应的正常压力称为校长强调。如果订校长强调,用代数方法σ_我,σ_二世,σ_三世(图4),那么任何脸上的正应力(给出σ_n=n·T)满足σ_我≤σ_n≤σ_三世。特征值(或主应力特征值)年代,主要方向特征向量n问题的,T=年代n,或σ){n}=年代{n与三栏{}在矩阵表示法n}表示n。它有解决方案当检波器([σ]−年代(我)=−年代³+我₁年代²+我₂年代+我₃= 0,我₁= tr (σ),我₂=−(1/2)我²/₁+ (1/2)tr ([σ][σ)),我₃=侦破[σ]。这里的“精细”表示行列式和“tr”表示跟踪,或一个矩阵的对角元素的总和,。因为校长压力决定我₁,我₂,我₃,可以不依赖有一个选择的坐标系对组件的压力被称为,我₁,我₂,我₃必须独立的选择,因此被称为压力不变量。你可以随时确认它们有相同的值时的评估σ_ij′之上的σ_ij利用张量变换法正交变换矩阵和属性指出。

通常,自然和技术,有兴趣在形式结构元素,可能被识别为字符串、电线、棒、酒吧、横梁、或列,或膜,盘子,或壳。这些通常都是理想化的,分别一人或二维连续。一个可能的方法是开发线性和角动量原则的后果完全在理想化,在净轴向和剪切力和弯曲和扭转力矩每一点沿着一个一维的连续体,或单位长度的力和力矩的表面二维连续体。