分析方法

在本质上，经典力学可以简化为牛顿定律，从第二定律开始，形式为方程。

如果网络力作用于粒子是F，知识F允许动力p被发现;和知识p允许位置r解这个方程就能找到方程。

这些解给出的分量p,也就是p_x，p_y,p_z-以及r- - - - - -x, y,z-每一个都是时间的函数。要完成解决方案，请使用价值每个数量-p_x，p_y，p_z，x, y,z-必须在某个特定的时间知道，比如，t= 0。如果有一个以上的粒子，则用方程(91)必须为每个粒子写，而解决方案将涉及找到六个变量X y z p_x，p_y,p_z，对于每个粒子作为时间的函数，每个粒子又受制于某个初始条件。然而，这些方程可能不是相互独立的。例如，如果粒子之间相互作用，这些力将与牛顿第三定律相关。在这种情况下(和其他情况下)，力也可能取决于时间。

如果问题涉及的粒子数量超过极少数，这种解决方法很快就会变成棘手的．此外，在许多情况下，单纯地用粒子和力来表示问题是没有用的。例如，考虑一个球体或圆柱体在平面上滚动而不滑动的问题。滚动不打滑是由摩擦由于滚动体中的原子与平面中的原子之间存在作用力，但相互作用非常复杂;即使在今天，它们可能还没有被完全理解，人们希望能够在不介绍它们或不需要理解它们的情况下制定和解决问题。由于这些原因，超越解方程的方法(91)及(92)必须被引入经典力学。

已经介绍的方法并不涉及新的方法物理．事实上，它们是直接从牛顿定律推导出来的。然而，它们确实涉及到新的概念，描述这些概念的新语言，以及采用强大的数学技术。这里简要介绍其中一些方法。

配置空间

一个粒子的位置是通过给出它的三个粒子来确定的坐标，x, y,z．要指定两个粒子的位置，需要六个坐标，x₁，y₁，z₁，x₂，y₂，z₂．如果有N粒子,3N需要坐标。想象一个3的系统N相互正交a 3中的坐标N-维空间(大于三维的空间是一个纯粹的数学结构，有时被称为超空间)。要指定此空间中单个点的确切位置，请使用3N需要坐标。然而，单个点可以代表所有的整个配置N问题中的粒子。此外，该单点的路径作为时间的函数就是问题的完整解。这个3N叫做-维空间配置空间。

构型空间在描述已知的东西时特别有用问题的约束条件。约束通常是描述力的影响的方法，最好不要显式地引入问题中。例如，考虑一个简单的例子落体接近地球表面运动方程(4), (5)，及(6) -只有在身体撞到地面时才有效。在物理上，这种限制是由于下落物体中的原子和地面上的原子之间的力，但是，作为一个实际问题，最好说解只对z> 0(其中z= 0为地面)。这约束，以一个不等式的形式，是很难直接合并到问题的方程。然而，在位形空间的语言中，我们只需要指定问题是在位形空间的区域内被解决的z> 0。

注意，上面提到的在平面上滚动而不滑动的约束，不容易在构型空间中描述，因为它基本上是旋转和平移的相对速度的条件;但是另一个约束条件，物体被限制在平面上运动，很容易在构型空间中描述。

另一种类型的约束指定主体是刚性．那么，即使物体是由非常多的原子组成的，也没有必要分别找出原子x, y,z每个原子的坐标，因为它们通过刚性的条件与其他原子的坐标相关。仔细的分析收益率而不是需要3个N坐标(N例如，可能是10²⁴原子)，只需要6个:3个用于指定对象的位置质心3给身体的方向。因此，在这种情况下，约束将独立坐标的数量从3个减少了N6。而不是将系统的行为限制在原来3的一部分N-维构型空间，可以在更简单的6维构型空间中描述系统。然而，应该指出的是，这六个坐标并不一定都是距离。事实上，最方便的坐标是三个距离x, y,z物体的质心坐标)和三个角，它们规定了物体中固定的一组轴相对于空间中固定的一组轴的方向。这是一个使用约束来减少数量的例子动态变量在一个问题中x, y,z每个粒子的坐标)对较小的数进行广义动态变量，这些变量甚至不需要与原始变量具有相同的维度。

原则虚拟工作

力学中有一类特殊的问题涉及系统平衡．问题是找到系统的构型，不管存在什么约束条件，当所有力都是平衡的。物体或系统将处于静止(在其质心的惯性静止系中)，这意味着它一直占据位形空间中的一点。问题是找到这个点。一个标准为了找到那个点，它利用了变分演算，叫做虚的原理工作．

根据虚功原理，任何无穷小构型空间中的虚位移，与约束一致，不做功。虚位移意味着坐标的瞬时变化(实位移需要有限的时间，在此期间粒子可能移动，力可能变化)。为了表达这个原理，标记广义坐标r₁，r₂……r_我， . . . .如果F_我广义力的净分量是沿坐标作用的吗r_我，方程。

在这里,F_我博士_我是工作完成当广义坐标被无穷小的量改变时博士_我．如果r_我实坐标(比如x粒子的坐标)，则F_我是真正的力量。如果r_我那么，广义坐标(比如，刚体的角位移)是什么呢F_我广义力是这样的吗F_我博士_我所做的功(对于角位移，F_我是扭矩的一个分量)。

举两个简单的例子来说明这个原理。首先考虑两个被限制的粒子运动在x方向和被一根紧绷的弦所约束。如果他们的x坐标被称为x₁而且x₂,然后F₁dx₁+F₂dx₂根据虚功原理，= 0。但绷紧的弦要求粒子位移相等，所以dx₁＝dx₂，结果是F₁+F₂= 0。粒子可能在里面平衡例如，在相等和相反的力下，但是F₁而且F₂不需要单独为零。这通常是正确的F_我在公式中(93)．作为第二个例子，考虑空间中的刚体。在这里，刚性约束已经通过将坐标空间简化为六个广义坐标的空间来表示。这六个坐标(X y z，和三个角度)可以相互独立地变化。换句话说，在方程(93)，六个博士_我是任意的．因此，方程(93)可以满足的是如果所有的六个F_我为零。这意味着刚体可以没有净分量力没有净分量转矩行动起来。当然，同样的结论早前就已得出(见静力学)用不那么抽象的论点。