圆周运动

假设一个粒子以匀速沿圆周运动，每小时绕圆周转一圈。为了从数学上描述运动，a向量从圆心到粒子的距离。的向量然后每小时转一圈。换句话说，矢量的行为就像手表上的大指针，一个固定长度的箭头，每小时转一圈。向量点的运动就是一个例子匀速圆周运动，和周期T运动的时间等于1小时(T= 1 h)。箭头每小时扫出2π弧度(一个完整的圆)的角度。这个速率叫做角频率写成ω = 2π h⁻¹．一般来说，对于匀速圆周运动，方程。这些定义和关系与上面讨论的谐波运动的定义和关系相同。

考虑一个坐标系统，如图8，圆以原点为中心。在任何时刻，质点的位置可以通过给定半径r圆和角θ之间的位置矢量和x设在。虽然r是常数，θ随时间均匀增加t，使得θ = ωt,或dθ/dt= ω，式中ω为角频率(26)．然而，与腕表的情况相反，ω是正的公约当旋转是逆时针方向时。向量r有x而且y给出的分量方程。

方程的一种含义(27)及(28)，即当粒子作匀速圆周运动时，其x而且y每个组件经历简谐运动．然而，它们彼此之间并不是同相的:在某一瞬间x具有最大振幅(在θ = 0时)，y振幅为零，反之亦然。

在短时间内，Δt，粒子运动rΔθ沿圆周运动，如图所示图8 b．粒子的平均速度由方程。

的质点的平均速度是由方程。

向量减法的运算在图8 b．它得到一个几乎垂直于r（t),r（t+Δt)．事实上,瞬时速度，可以通过Δ找到t收缩到零，是一个向量v垂直于r在每一个瞬间，它的大小方程。

之间的关系r而且v显示在图8 c．这意味着粒子的瞬时速度总是与圆相切。

注意，就像位置向量一样r可以用组件来描述x而且y由方程(27)及(28)，为速度向量v可以用它来描述预测在x而且y坐标轴由方程。

想象一个新的坐标系，其中长度为ω的向量r从原点延伸，始终指向与原点相同的方向v．这种结构显示在图8 d．每次粒子扫出一个完整的圆，这个向量也扫出一个完整的圆。事实上，它的点正在以与粒子本身相同的角频率进行均匀的圆周运动。因为矢量有大小和方向，但没有位置空间，已经构造的矢量就是速度v．质点的速度本身以角频率ω作匀速圆周运动。

虽然粒子的速度是恒定的，但粒子是恒定的加速，因为它的速度在不断改变方向。的加速度一个是由方程。

自v向量是长度的吗rω作匀速圆周运动，方程(29)及(30.)可重复，如图8 e,给方程。

因此，人们可以得出结论瞬时加速度总是垂直于v它的大小是方程。

自v垂直于r,一个垂直于v，向量一个旋转180°r．换句话说，加速度平行于r但是方向相反。相同的结论可以通过意识到这一点来实现吗一个有x而且y给出的分量方程。类似于方程(32)及(33)．当方程(38)及(39)与方程(27)及(28)x而且y，很明显，成分一个只是那些r乘以−ω²，所以一个=−ω²r．这个加速度叫做向心加速度，意味着它是向内的，沿着半径向量指向圆的中心。有时用速度来表示向心加速度是有用的v．使用v=ωr，可以这样写方程。