简单的谐波振荡

考虑一个质量米举行一个平衡位置的弹簧,所示图2一个。质量可能会被取代摄动它向左或向右。如果x是位移的质量平衡(图2 b),弹簧施加一个力F成正比x,这样在哪里k是一个常数,取决于弹簧的刚度。方程(10)胡克定律被称为,力量弹簧力。如果x是积极的(位移),合力是负的(左边),然后呢反之亦然。换句话说,弹簧力总是行动以恢复质量回到平衡位置。此外,力将会产生一个加速度沿着x方向由一个=d²x/dt²。因此,牛顿第二定律,F=马这种情况下应用,取代−kx为F和d²x/dt²为一个,给−kx=米(d²x/dt²)。置换和除以米收益率方程

方程(11)给出了导数——这种情况下数量第二的导数x的数量本身。这样的方程称为微分方程,这意味着一个方程包含衍生品。普通的日常工作的理论物理包括解微分方程。问题是,鉴于方程(11),如何x取决于时间吗?

答案是建议的经验。如果质量是流离失所、释放,将对其平衡位置来回摆动。也就是说,x应该是一个振荡函数的t,比如一个正弦波或余弦波。例如,x可能服从行为等

方程(12)描述的行为画图形图3。质量是最初流离失所的距离x=一个和发布时间t= 0。随着时间的推移,质量震荡从一个对−一个和回一个再次在ω的时间t推进2π。这段时间被称为T,期振荡,ωT= 2π,或T= 2π/ω。的互惠期间,或频率f在每秒振荡,是由f= 1 /T=ω/ 2π。ω的数量被称为角频率用弧度/秒表示。

选择方程(12)作为一种可能的行为满足微分方程(11)可以被替换成测试方程(11)。的一阶导数x关于t是

区分第二次给

方程(14)是一样的方程(11)如果

因此,这种情况,方程(12)是一个正确的解决微分方程。可能有其他的正确猜测(例如,x=一个罪ωt),不同于这一个只在是否在休息或质量运动在即时t= 0。

质量,已经证明,从振荡一个对−一个和回来。的速度,dx/dt方程(13),是零一个和−一个,但它的最大大小,等于ω一个,当x等于零。后,身体质量是流离失所平衡一段距离一个正确的,恢复力F推回到它的质量平衡位置,使其加速到左边。没有作用力达到平衡时,在那一瞬间,但移动速度ω一个,它的惯性把它的平衡位置。−之前停止它到达位置一个,这时有一个力作用在一遍,使其回到平衡状态。

整个过程,被称为简谐运动,没完没了地重复频率由方程(15)。方程(15)意味着硬弹簧(即。,更大的k),频率越高(越快振荡)。使质量更大的完全相反的效果,减缓下来。

简谐运动的一个最重要的特征是运动的频率,ω(或f),只取决于质量和弹簧的刚度。它不依赖于振幅一个的运动。如果振幅增加,质量移动得更快,但对一个完整的往返所需的时间是相同的。这个事实具有深远的影响,管理音乐的本质和精确计时的原则。

的势能的谐振子,等于外部代理必须做的工作,推动质量从0到x,是U=¹/₂kx²。因此,上述总初始能量的情况¹/₂卡²;和自动能总是¹/₂mv²在任何时候,当质量x在振荡,

方程(16)发挥的作用的谐振子方程(8下降的身体)。

很一般,谐波振荡的结果令人不安的任何身体或结构从机械平衡稳定的状态。为了理解这一点,一个简短的讨论稳定是有用的。

考虑一个大理石碗里面休息,然后再考虑第二个,倒碗大理石上平衡。在这两种情况下,大理石上的合力为零。因此机械弹珠平衡。然而,一个小扰动的位置倒碗里的大理石上平衡将导致滚过去,不返回。在这种情况下,平衡是不稳定的。相反的,如果第一个碗内的大理石是打扰,重力行为来推动它回到碗的底部。大理石碗内(如质量由弹簧图2一个)在稳定平衡身体的一个例子。如果是略有不安,它执行谐波振荡在碗的底部而不是滚动。

这个论点可以由一个简单的数学广义参数。考虑一个身体或结构力学平衡,当被少量x,发现一个力作用在它的函数x, F(x)。对小x,这样一个函数可能写的一般幂级数在x;也就是说,在哪里F(0)价值的F(x)当x= (0)一个和b是常数,独立的x,由系统的性质决定的。身体的声明意味着机械平衡F(0)= 0,所以没有力是作用于人体时原状。自x很小,x²要小得多;因此,这个词bx²和更高的力量可能会忽视。这使得F(x)=斧头。现在,如果一个是正的,一个扰动产生一个力方向相同的干扰。是这样平衡的大理石时倒碗里。它描述了不稳定平衡。系统是稳定的,一个必须是负的。因此,如果一个=−k,在那里k是一些积极的常数,方程(17)成为F(x)=−kx简单的胡克定律,方程(10)。正如上面所描述的那样,任何系统服从胡克定律是谐振子。

论点的普遍性占谐振子是大量观察到共同的经验。例如,任何刚性结构将在许多不同的谐波振荡频率对应于不同的可能扭曲的平衡形状。此外,音乐可能产生令人不安的延伸线的平衡或纤维(如钢琴和小提琴),拉伸膜(如鼓),或一个刚性杆(三角形和木琴)或通过令人不安密度一个封闭的空气柱的(如喇叭和器官)。而一个流体如空气不是刚性的,它的密度是一个稳定的系统,遵循胡克定律,并可能因此被设置成谐波振荡。

所有的音乐将会完全不同于什么要不是谐振子的一般属性频率振幅无关。因此,仪器产生同样的注意(频率),不管他们有多大声打(振幅)一样,同样重要的是,注意持续振动而消失。谐振子的相同属性的根本原则是所有准确的计时。

第一个精确