近世代数
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近世代数，也叫抽象代数，分支数学关于各种集合的一般代数结构(如实数，复数，矩阵,向量空间)，而不是使用规则和程序来操作它们的各个元素。
在19世纪下半叶，各种重要的数学进展导致了对集其中任意两个元素相加或相乘可以得到相同的第三个元素集。相关集合的元素可以是数字，功能，或其他一些对象。由于所涉及的技术是相似的，因此似乎有理由认为主要关注的对象是集合，而不是其元素。一个明确的论文，近世代数，是荷兰数学家在1930年写的巴特尔·范德瓦尔登这门学科几乎对数学的每一个分支都产生了深远的影响。
基本代数结构
字段
集合本身并不是很有用，它只不过是定义良好的数学对象的集合。然而，当一个集合为其元素定义了一个或多个操作(例如加法和乘法)时，它就变得非常有用。如果操作满意熟悉算术规则(如结合性、交换性和分配性)集合将具有特别“丰富”的代数结构。具有最丰富代数结构的集合称为场。字段的常见例子是有理数(分数)一个/b在哪里一个而且b是正整数还是负整数)，则实数（理性的而且无理数)，以及复数(表格编号一个+b我在哪里一个而且b都是实数我2=−1)。它们中的每一个都非常重要，都有自己的特殊符号:ℚ表示有理数，ℝ表示实数，ℂ表示复数。这个词场在它的代数意义上与它在其他方面的使用是完全不同的上下文，例如向量数学中的场或物理中的磁场。其他语言在术语上避免了这种冲突;例如，代数意义上的场称为a队法语和一个Korper在德语中，这两个词都是“身体”的意思。
除了上面提到的具有无限多个元素的场之外，还存在只有有限个元素的场(总是质数的某次幂)，这些场非常重要，特别是对于离散数学。事实上,有限的领域推动了抽象的早期发展代数。最简单的有限的Field只有两个元素，0和1，其中1 + 1 = 0。该领域应用于编码理论和数据通信。
结构公理
基本规则，还是公理，用于加法和乘法表，满足所有这10个规则的集合称为字段。只满足公理1-7的集合称为A环，如果它也满足公理9，则称为a团结一致。一个令人满意的戒指交换律的乘法(公理8)被称为a交换环。当公理1-9成立且没有零的固有因数时(即无论何时一个b= 0一个= 0或b= 0)时，集合称为an积分域。例如，整数集合{…，−2，−1,0,1,2，…}是一个可交换环团结，但它不是一个场，因为公理10不成立。当只有公理8不成立时，一个集合被称为除法环或斜场。
| 场公理 | |
|---|---|
| 公理1 | 闭包:集合中任意两个元素的组合(以后用加法或乘法表示)产生集合中的一个元素。 |
| 公理2 | 加法是可交换的:一个+b＝b+一个对于集合中的任何元素。 |
| 公理3 | 加法是结合的:一个+ (b+c) = (一个+b) +c对于集合中的任何元素。 |
| 公理4 | 加性恒等式:存在一个元素0使得一个+ 0 =一个对于集合中的每一个元素。 |
| axiom 5 | 加性逆:对每个元素一个在集合中，存在一个元素-一个这样一个+ (-一个) = 0。 |
| axiom 6 | 乘法是结合律:一个（公元前) = (ab）c对于集合中的任何元素。 |
| axiom 7 | 分配法:a (b+c) =ab+交流和(一个+b）c＝交流+公元前对于集合中的任何元素。 |
| axiom 8 | 乘法是可交换的:ab＝英航对于集合中的任何元素。 |
| axiom 9 | 乘法恒等式:存在一个元素1，使得1一个＝一个对于集合中的任何元素。 |
| axiom 10 | 乘法逆:对每个元素一个在集合中，存在一个元素一个－1这样aa－1= 1。 |
四元数和抽象
具有非交换乘法的环的发现对现代代数的发展起到了重要的促进作用。例如，的集合n——- - - - - -n矩阵是一个非交换环，但是因为有不带逆的非零矩阵，所以它不是部门戒指。非交换除法环的第一个例子是四元数。这些是表格上的数字一个+b我+cj+dk,在那里一个，b，c,d都是实数，系数是1，我，j,k是单位向量定义了四维空间。四元数是爱尔兰数学家在1843年发明的威廉·罗文·汉密尔顿将复数从二维平面扩展到三维，以便用数学方法描述物理过程。Hamilton定义了以下四元数乘法规则:我2＝j2＝k2=−1,我j＝k=−j我，jk＝我=−kj,k我＝j=−我k。经过几年的努力，他发现了处理高维复数的一致规则，当他在家乡都柏林散步时，灵感突然出现，他停下来在附近的一座桥上写下了这些公式。在研究四元数的过程中，汉密尔顿为代数奠定了基础矩阵并引领了更为抽象的数字和运算概念的发展。