欧几里得

相比之下,欧几里得数论而繁荣。他开始他的第七本书元素通过定义一个数量为“许多单位组成。“这里的复数被排除在外1;对欧几里得,2是最小的数量。”后来,他定义了一个'作为一个数字(即“单独衡量一个单位”。,whose only proper divisor is 1), a composite as a number that is not prime, and a完全数作为一个等于的总和(即“部分”。适当的因子)。

从那里,欧几里得一系列定理证明标志着数论是数学的开始(而不是数学)的企业。四个欧几里得命题特别值得一提。

第一,第七命题2的书,是一个过程的最大公约数两个整数。基本结果现在被称为欧几里得算法在他的荣誉。

第二,欧几里得给了所谓的一个版本独特的分解定理或算术基本定理。这表示,任何整数可以分解成质数的乘积在一个且只有一个。例如,1960 = 2×2×2×5×7×7是一个分解质因数,和其他不存在这样的分解。欧几里得的讨论独特的分解不满意的现代标准,但其本质可以找到32号提案书第七和第九14号预选提案的书。

第三,欧几里得表明没有质数包含他们所有人的有限集合。他的论点,主张20本书第九,仍然是最优雅的证明数学。开始与任何有限的primes-say的集合,一个,b,c、…n欧几里得认为数量由添加一个产品:N= (一个bc⋯n)+ 1。然后他调查了两种选择:

(1)如果N是',那么这是一个新的'不是吗一个,b,c、…n因为它比所有这些。例如,如果原来的质数是2,3和7,然后N=(2×3×7)+ 1 = 43是一个更大的'。(2)另外,如果N是综合的,它必须有一个主要因素,欧几里得证明,不能原创作品之一。为了说明这一点,首先启动2 7和11,所以N= (2×7×11)+ 1 = 155。这是复合,但其主要因素5和31原件中没有出现。不管怎样,一个有限集质数总是可以增强。此前,这个美丽的逻辑,质数的集合无限。

第四,欧几里得结束第九本书大片:如果系列1 + 2 + 4 + 8 +…+ 2^k金额',然后数量N= 2^k(1 + 2 + 4 +…+ 2^k)必须是完美的。例如,1 + 2 + 4 = 7,',所以4(1 + 2 + 4)= 28是完美的。欧几里得的“食谱”完美的数字是一个最令人印象深刻的成就的一天。

Diophantus

后来的希腊数学家,尤其值得注意的是Diophantus亚历山大的(繁荣c。250)的作者速算比赛。这本书有一个主机的问题,其中最重要的被称为丢番图方程。这些方程的解决方案必须是整数。例如,Diophantus要求两个数字,一个正方形,另一个立方体,这样的广场本身就是一个广场。在现代符号,他寻求整数x,y,z这样,(x²)²+ (y³)²=z²。很容易找到实数满足这种关系(例如,x=√√2,y= 1,z=√√5解决方案是整数),但是要求让问题更加困难。(一个答案是x= 6,y= 3,z= 45。)数学Diophantus强烈影响以后的工作。