近似理论

这一类包括函数的近似更简单、更容易处理的函数和方法基于使用这种近似。当评估一个函数f(x),x一个真正的或复数,它必须记住一个计算机或计算器只能做一个有限的操作的数量。此外,这些操作是最基本的算术操作的加法、减法、乘法和除法,一起比较判断等操作x>y是真或假。四个基本的算术运算,可以对多项式进行评估p(x)=一个₀+一个₁x+一个₂x²+⋯+一个_nxⁿ以及理性的功能(多项式除以多项式)。包括比较操作,可以评估不同多项式或理性的功能不同的实数x。所有其他functions-e.g。的评价,f(x)=√√x或2^x必须减少的评价多项式或有理函数接近给定的函数足够的准确性。所有功能评估计算器和电脑是用这种方式来实现的。

一个共同的近似法被称为插值。考虑一个集点(x_我,y_我),我= 0,1,…,n,然后找到一个多项式满足p(x_我)=y_我对所有我= 0,1,…,n。的多项式p(x)插入给定的数据点。比多项式插值可以执行其他功能(尽管这些最常见),重要的情况下是合理的函数,三角多项式样条函数(由连接几个多项式函数endpoints-they是常用的统计数据和计算机图形学)。

内插有许多应用程序。如果一个函数f(x)是已知的只有一组离散的数据点x₀、…x_n,y_我=f(x_我),然后插值可以用来定义扩展到附近的点x。如果n在所有大型,样条函数通常比简单的多项式。

大多数近似的数值方法积分和衍生品的一个给定的函数f(x)是基于插值。例如,首先构建一个插值函数p(x),通常一个多项式,接近f(x),然后集成或区分p(x近似的对应积分或导数的f(x)。

解决微分和积分方程

自然科学和工程中使用的大多数数学模型是基于常微分方程,偏微分方程,积分方程。数值方法求解这些方程主要是两种类型。第一类未知函数的近似方程通过一个简单的函数,通常一个多项式或分段多项式(花键)函数,选择密切关注原始方程。上面讨论的有限元法是最著名的这种类型的方法。第二种类型的数值方法近似方程,通常通过近似的微分或积分方程。近似方程有解的离散点集,和这个解决方案接近原来的方程。这样的数值程序通常被称为有限差分方法。大多数初始值问题常微分方程和偏微分方程是通过这种方式解决。数值方法求解微分和积分方程通常涉及两个近似的理论和解决方案相当大的线性和非线性系统方程。

电脑的影响硬件

几乎所有的数字计算机进行数值计算。数字计算机的结构和性能影响的结构数值算法,尤其是在解决大型线性系统。首先,必须了解计算机算术。从历史上看,计算机算法多样化大大不同的电脑制造商,这是许多问题的根源,试图编写软件,不同的计算机之间可以很容易地移植。变化显著减少1985年的发展电气和电子工程研究所(IEEE)标准计算机浮点运算。IEEE标准已通过所有个人电脑和工作站以及大多数大型计算机。

对于大规模问题,尤其是在数值线性代数,重要的是要知道的元素数组一个或者一个向量x存储在内存中。知道这可能导致更快的将数据从内存到计算机的运算寄存器,从而导致更快的项目。有些相关的主题是“流水线。“这是一种广泛使用的技术,计算机操作的执行是重叠的,从而导致更快的执行。机器基本相同的时钟速度可以有非常不同的程序执行时间由于流水线上的差异和不同的方式访问内存。

大多数的个人电脑都在他们的操作顺序,但是并行计算机被越来越广泛地用于公共和私人研究机构。(看到超级计算机)。共享内存并行计算机有几个独立的中央处理单元(cpu),所有访问相同的计算机内存,而内存并行计算机有单独的内存为每个CPU。另一种形式的并行性是使用流水线向量算术运算。必须修改数值算法最高效地运行在任何组合的方法一个特定的计算机使用。