的单纯形法
的图形化方法解决了前一节中的示例只适用于系统涉及两个变量的不平等。在实践中,问题往往涉及方程与成千上万的变量,这会导致一个极端点的天文数字。1947年乔治Dantzig为美国空军数学顾问,设计了单纯形法限制极端点的数量必须检查。单纯形法是最有用的和有效的算法发明的,它仍然是在电脑上使用的标准方法来解决优化问题。首先,该方法假定一个极端点。(如果没有极端点,单纯形法的一种变体,称为第一阶段,用于查找一个或确定没有可行的解决方案。)接下来,使用一个代数问题的规范,测试确定极端点是最优的。如果最优的测试不通过,一个相邻极端的观点是寻求一个边缘方向的价值目标函数最快的速度增加。有时你可以沿着一条边没有绑定,使目标函数值增加。如果发生这种情况,程序终止与处方的边缘沿着目标趋于积极∞。如果不是,达到一个新的极端点至少高一个目标函数值作为其前任。然后重复序列描述。终止时,找到一个最佳的极端点或无限的情况发生。虽然原则上必要的步骤可能成倍增长的极端点,通常在实践中该方法收敛于最优解的步骤,只是一个小的极端点的数量的倍数。
为了说明单纯形法,前一节的例子将再次得到解决。问题是第一个投入规范通过线性不等式转化为等式引入”松弛变量”x3≥0(这样x1+x3= 8),x4≥0(这样x2+x4= 5),x5≥0(这样x1+x2+x5= 10)和变量x0对目标函数(这样的价值x1+ 2x2−x0= 0)发现的问题可以重申为负的数量x1、…x5最大的可能x0满足的方程。一个显而易见的解决方案是集目标变量x1=x2= 0,这对应于极端点在原点。如果一个目标变量从零增加而另一个是固定在零的目标价值x0根据需要将增加(主题松弛变量满足等式约束)。的变量x2产生最大的提高x0单位变化;这是第一次使用。其nonnegativity需求增加是有限的变量。特别是,如果x2增加5之外,x4变得消极。
在x2= 5,这种情况下产生了一个新的解决方案(x0,x1,x2,x3,x4,x5)=(10 0、5、8 0 5)——对应于极端点(0,5)图中。的方程组投入一个等价的形式通过求解非零变量吗x0,x2,x3,x5现在的这些变量为零;也就是说,x1和x4。因此,新的目标函数x1−2x4=−10,而约束是x1+x3= 8,x2+x4= 5,x1−x4+x5= 5。现在明显增加x1而持有x4等于零将产生进一步增加x0。nonnegativity的限制x3防止x1从超越5。新解决方案(x0,x1,x2,x3,x4,x5)=(15、5、5、3,0,0)对应的极端点(5,5)图。最后,自解x0的变量x4和x5(目前在零值)的收益率x0= 15−x4−x5可以看出,任何进一步的变化在这些松弛变量将减少客观价值。因此,存在一个最优解在极端点(5,5)。
标准的制定
在实践中,优化问题的制定矩阵——紧凑象征意义用于操作约束和测试目标函数代数。原始(或“原始的”)优化问题给出了其标准制定冯诺依曼于1947年。在原始问题的目标是取代产品(px)向量x = (x1,x2,x3、…xn)T的组件上标“转置”的目标变量和符号表示向量垂直应该写,和另一个向量p = (p1,p2,p3、…pn),其组件的每一个目标变量的系数。此外,该系统不平等约束被Ax≤b,米通过n矩阵一个替换米限制n目标变量,和b = (b1,b2,b3、…b米)T是一个向量组件是不平等的。