数学哲学
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数学哲学，分支哲学这涉及到两个主要问题:一个是关于普通数学句子的意义，另一个是关于抽象对象是否存在的问题。第一个是直截了当的诠释问题:诠释标准数学句子和理论的最佳方式是什么?换句话说，普通的数学句子，如“3是质数”，“2 + 2 = 4”和“有无限多个质数”，真正的意思是什么。因此，哲学的一个中心任务数学就是为数学语言构建语义理论。语义关注日常话语中某些表达的意思(或指的是什么)。举个例子，在英语中这个词火星表示密西西比河是一种错误的语义理论;在英语中火星表示距离太阳的第四颗行星是一个真正的语义理论。因此，说数学哲学家对如何解释数学句子感兴趣，就等于说他们想为数学语言提供一种语义理论。
哲学家们对这个问题感兴趣主要有两个原因:1)正确答案是什么根本不明显;2)各种答案似乎都有深刻的哲学内涵影响．更具体地说，对数学的不同解释似乎产生了不同的结果形而上学的关于现实本质的观点。的句子就能说明这些问题算术，它们似乎对某些物体做出了直截了当的断言。例如，考虑句子“4是偶数”。这似乎是一个简单的主谓句，形式是"年代是P比如，“月亮是圆的”这句话。后面这句话直接说明了月球，同样，“4是偶数”似乎也直接说明了数字4。然而，这正是哲学家们感到困惑的地方。因为不清楚数字4应该是什么。是一种什么样的东西数量？一些哲学家(反现实主义者)对此表示怀疑——根据他们的说法，根本不存在数字这种东西。其他人(现实主义者)认为存在数字(以及其他数学对象)这样的东西。然而，在现实主义者中，关于数字是什么东西有几种不同的观点。一些现实主义者认为数字是心理对象(类似于人们头脑中的想法)。其他现实主义者声称，数字存在于人们头脑之外，是物质世界的特征。然而，关于数字的本质还有第三种观点，称为柏拉图主义或者数学柏拉图主义，在哲学史上更受欢迎。这种观点认为数字是抽象对象，抽象对象既是非物理的，也是非精神的。根据柏拉图学派，抽象的物体是存在的，但不是在物质世界的任何地方，也不是在人们的头脑中。事实上，它们根本不存在于空间和时间中。
在接下来的文章中，将更多地谈到澄清这正是柏拉图派的观点心通过一个抽象的对象。然而，值得注意的是，许多哲学家根本不相信抽象对象;他们认为，相信抽象的对象——完全非时空的、非物理的、非精神的对象——就是相信奇怪的、神秘的实体。事实上，抽象对象是否存在的问题是哲学中最古老也是最有争议的问题之一。这种观点的存在可以追溯到柏拉图，而对这一观点的严重抵制至少可以追溯到亚里士多德．这个持续不断的争议已经存在了2000多年。
数学哲学所涉及的第二个主要问题是:“抽象对象存在吗?”这个问题与如何解释数学的句子和理论的语义问题有着深刻的联系。因为如果柏拉图主义是正确的，那么对数学的最好解释就是，像“4是偶数”这样的句子是关于抽象对象的(下面就会清楚地看到，这样做有一些很好的理由支持这种解释)，如果(这似乎很明显)像“4是偶数”这样的句子是正确的，那么它似乎很自然支持认为抽象对象存在的观点
下一部分，数学柏拉图主义，提供了柏拉图的数学观点和它是如何发展的草图。下面一节，数学anti-Platonism的概述选择柏拉图主义，也就是那些不能相信抽象对象的人所能得到的各种反柏拉图主义的观点。最后，最后一部分，数学柏拉图主义:赞成和反对，提出了最好的论点，支持和反对柏拉图主义。
数学柏拉图主义
正式的定义
数学柏拉图主义，正式的定义，是这样的观点:(a)存在抽象的对象——完全非时空的、非物理的、非精神的对象——并且(b)有真正的数学句子提供对这些对象的真实描述。接下来关于柏拉图主义的讨论将同时涉及(a)和(b)。
最好从抽象对象的含义开始。在当代柏拉图派中，最普遍的观点是抽象对象的真正定义特征是非时空性。也就是说，抽象对象不存在于物理宇宙的任何地方，它们也完全是非精神的，然而,它们一直存在，也将永远存在。这并不排除有抽象对象的心理观念;根据柏拉图学派，一个人可以。，一个人可能会有精神病的想法4的数字。然而，这并不能由此得出数字4只是一个心理概念的结论。毕竟，人们头脑中也有关于月球的概念，但这并不能由此得出月球只是一个概念的结论，因为月球和人们对月球的概念是截然不同的东西。因此，当柏拉图主义者说数字4是一个抽象的物体时，他们的意思是说它是一个真实的客观的东西，就像月亮一样，独立于人和人的思维而存在，但不像月亮，它是非物理的。
根据柏拉图学派，抽象对象也是不变的，完全非因果的。由于抽象对象不是在空间中扩展的，也不是由物理物质构成的，因此它们不能与其他对象建立因果关系。
柏拉图主义者还声称，数学定理提供了对这些对象的真实描述。这种说法意味着什么?考虑正整数(1,2,3，…)。根据柏拉图派，算术理论说明了抽象对象的序列是什么样的。多年来，数学家们发现了关于这个数列的各种有趣事实。例如,欧几里得早在2000多年前就证明了正整数中有无穷多个素数。因此，根据柏拉图学派，正整数序列是一个研究对象，就像太阳系是天文学家研究的对象一样。
到目前为止，只讨论了一种数学对象，那就是数。但是有许多不同种类的数学对象——函数、集合、向量、圆等等——对柏拉图主义者来说，这些都是抽象的对象。此外，柏拉图派还相信集合论的存在层次结构这集理论描述这些结构。数学的各个分支都是如此。总的来说，根据柏拉图派，数学是研究各种数学结构的本质，这些结构本质上是抽象的。
柏拉图主义已经存在了两千多年，多年来它一直是数学哲学家中最受欢迎的观点之一。然而，在哲学史的大部分时间里，数学柏拉图主义是停滞不前的。在19世纪晚期Gottlob弗雷格他创立了现代主义数理逻辑，发展了什么被广泛认为是最有力的论点，在支持柏拉图主义;但他并没有改变观点的提法。同样，在20世纪库尔特·哥德尔奥地利和威拉德·范·奥曼·奎因的美国介绍了假设试图解释人类如何获得抽象对象的知识，但同样，这些思想家都没有改变柏拉图主义的观点本身。(哥德尔假设是关于人类本性的，而奎因的假设是关于经验证据。)