的Fregean柏拉图主义的论据

弗雷格的数学论证柏拉图主义归结起来，这是唯一站得住脚的观点数学．(这里提出的论证版本包括许多弗雷格自己从未提出的观点;尽管如此，这种争论在精神上仍然是Fregean式的。)

从柏拉图主义的观点来看，最弱的反柏拉图主义观点是心理学术语物理主义和意译唯名论．这三种观点对应该如何解释数学语言提出了有争议的主张，柏拉图主义者通过仔细检查人们在发表数学话语时的实际意思来反驳他们的主张。以下是反对这三种观点的一些论点。

心理学可以被认为涉及两个核心主张:(1)数字观念存在于人们的头脑中;(2)普通的数学句子和理论最好被解释为关于这些观念。很少有人会反对第一个观点，但是有几个众所周知的观点反对接受第二个观点。这里介绍三个。首先是心理主义使数学化的论点真理或有心理学上的真理。因此，如果人类死了，“2 + 2 = 4”这句话就会突然变得不真实。这似乎是明显错误的。第二个论点是，心理主义似乎与标准算术理论不相容。标准算术理论坚持认为，实际上存在无限多个数字，因为很明显，人类头脑中只有有限数量的想法。这并不是说人类不能想象一个无限设置;问题的关键在于，无限多的实际对象(即不同的数字观念)不可能存在于人的头脑中。因此，数字不可能是人脑中的思想。（另请参阅∞为亚里士多德的实际无穷和潜在无穷之间的区别。)第三，心理主义认为适当方法因为数学就是经验心理学。如果心理学是正确的，那么要发现，比如说，在10,000,000和10,000,020之间是否有一个质数，正确的方法是用经验人类的研究确定这样的数字是否存在于某人的脑海中。然而，这显然不是正确的数学方法;正确的方法包括数学证明，而不是经验心理学。

在柏拉图主义者的眼中，物理主义也没有好到哪里去。提出反对数学物理主义解释的论点的最简单的方法是集中于集理论．根据物理主义，集合只是一堆物理对象。但是，如前所述，集合不可能是一堆物理的东西——或者无论如何，当数学家谈论集合时，他们并不是在谈论物理的堆——因为根据集合论的原则，对于每一堆物理的堆，都对应着无穷多个集合。物理主义观点的第二个问题是，它们似乎无法解释集合论中涉及的无限的绝对大小。标准集合理论不仅认为存在无限大的集合而且还认为存在无限大的集合∞这些大小会越来越大，没有尽头，而且实际上存在所有这些不同大小的无穷集合。根本没有合理的方法将这种关于无限的数学理论应用于物理世界。最后，在柏拉图主义者眼中，物理主义的第三个问题是，它似乎也暗示数学是一门经验科学，取决于物理事实，容易被经验证伪。这似乎与数学方法相矛盾;数学不是经验性的(至少通常不是)，而且大多数数学真理(例如，“2 + 3 = 5”)不能被关于物理世界本质的发现经验性地证伪。

柏拉图主义者反对不同版本的意译唯名论，指出它们也与实际的数学论述不一致。这些观点都是难以置信的假设关于数学家和普通人的意图。例如，演绎主义认为，当人们说出“4是偶数”这样的句子时，他们真正的意思是说，如果有数字，那么4就是偶数。然而，这一论点根本没有证据，而且，它似乎显然是错误的。类似的评论可以对其他版本的意译唯名论;所有这些观点都有一个共同点的想法数学语句不是字面意义上的。然而，没有证据表明人们会非字面地使用数学句子。似乎数学话语的最佳解释是关于(或者至少，声称是关于)某些类型的对象。此外，如上所述，我们有充分的理由认为所讨论的对象不可能是物理对象或精神对象。因此，这里概述的论点似乎导致柏拉图式的结论，数学话语是关于抽象对象。

然而，这并不能由此得出柏拉图主义是正确的，因为反柏拉图主义者可以承认所有这些论点支持小说主义或新美嫩主义。新美农观点的拥护者接受柏拉图式的数学句子的解释，同时也否认有任何诸如数字、函数和集合之类的东西;但新美农主义者想要宣称数学是正确的。柏拉图主义者认为推理是荒谬的。例如，如果美人鱼不存在，那么“有一些红头发的美人鱼”这句话在字面上就不可能是正确的。同样，如果没有数字这样的东西，那么“有一些大于20的质数”这句话在字面上也不可能是正确的。也许最好的说法是新美嫩主义扭曲的意义这个词真正的．

剩下的反柏拉图派，即小说派，在如何解释数学句子的问题上与柏拉图派意见一致。事实上，小说派与柏拉图派之间唯一的分歧在于，是否存在抽象对象这样的东西(因此，也就存在数学句子字面上是否正确的问题)。然而，由于抽象对象如果存在，就必须是非物理的和非精神的，因此人们如何确定它们是否存在就不明显了。这就是小说派观点的美妙之处:他们支持柏拉图派的所有论点，即数学最好被解释为关于抽象对象的，然后他们简单地断言他们不相信抽象的物体。摆脱虚构主义似乎很容易，因为像“2 + 2 = 4”这样的句子似乎是完全正确的。然而，仔细观察，这一点并不明显。如果上面讨论的论点是正确的——柏拉图派和小说派都接受它们——那么为了使“2 + 2 = 4”成立，抽象对象必须存在。但人们很可能会怀疑是否真的存在这样的东西;毕竟，它们看起来不只是有点奇怪，而且，似乎没有任何证据表明它们真的存在。

或许确实存在一些证据。无论如何，这就是柏拉图主义者想要宣称的。柏拉图派提出了一些不同的论点来驳斥虚构主义，但其中只有一个，即不可缺少的论点，得到了真正的支持货币．根据不可缺少的论点，建立良好的数学定理必须是正确的，因为它们不可分割地交织在自然科学中已经发展和接受的经验理论中，并且有很好的理由认为这些经验理论是正确的。(这一论点起源于弗雷格的著作，并由奎因和普特南提出。)小说家们对此提出了两种回应。菲尔德认为，数学并不是不可分割地交织在科学家们所开发的经验理论中;他认为，如果科学家愿意，他们可以从他们的理论中提取数学。此外，Balaguer、Rosen和Yablo认为，数学是否存在并不重要不可缺少的对于经验科学，因为即使它是，即使数学定理不是字面上正确的(因为没有抽象对象这样的东西)，使用这些数学定理的经验理论仍然可以提供物理世界本质上准确的图像。