幂级数

幂级数,在数学,一个无穷级数可以被认为是一个多项式与一个无限的条款,如1 +x+x²+x³+⋯。通常,一个给定的幂级数收敛(即有限和方法)的值x在一定时间间隔在归零校正,只要的绝对值x小于正数r的半径收敛。这个区间之外的级数发散(是无限的),而这个系列可能收敛或发散x=±r。收敛半径通常可以由幂级数的比值判别法的一个版本:给定一个一般的幂级数一个₀+一个₁x+一个₂x²+⋯,系数是已知的,收敛半径等于限制连续的比例系数。象征性地,系列收敛所有的值x这样

例如,无穷级数(1 +x+x²+x³+⋯收敛半径为1(所有的系数都是1)——也就是说,它收敛所有−1 <x<第1区间内的无穷级数= 1 / (1−x)。将比值判别法应用到系列1 +x/ 1 !+x²/ 2 !+x³/ 3 !+⋯(中的阶乘符号n!意味着数数从1到的产物n)的收敛半径这级数收敛的任何值x。

大多数函数可以表示为一个幂级数在某些区间(看到点击这里查看尺寸表表)。尽管一系列可能收敛值的x,一些值的融合可能会很慢,用它来近似函数需要太多的计算条件使它有用。而不是权力x,有时出现更快收敛的能力(x−c),c是一些价值期望值附近x。幂级数也被用于计算常数π和自然等对数基地e和解决微分方程。