散度和拉普拉斯方程
当电荷不是孤立的点而是形成一个连续局部电荷密度ρ与电荷δ之比的分布问在一个体积为δ的小细胞中v的通量E在细胞表面是ρδv/ε0,通过高斯定理，与δ成正比v．通量与δ的比值v的散度E并且是divE．它与电荷密度的关系式为divE=ρ/ε0．如果E表示为笛卡尔分量(εx,εy,εz),
由于Ex=−∂ϕ/dx等等,
左边的表达式通常写成∇2n和被称为n的拉普拉斯量。从它与ρ的关系可以明显看出，它具有不变的性质轴的x，y,z被肉体转变成任何新的方向。
如果空间的任何区域是免费的，ρ = o和∇2在这个区域中φ = 0。后者是拉普拉斯方程，有许多解法可用，为寻找静电(或引力场)场模式提供了强有力的手段。
非保守的领域
的磁场B是一个向量场的例子，通常不能被描述为标量势的梯度。没有孤立的极点为电场线提供电荷源。相反，磁场是由电流产生的，并在任何带电流的导体周围形成漩涡图案。显示单个直线的字段线。如果一个人形成线积分∫B·dl围绕由这些场线组成的闭合路径，每一个增量B·δl有相同的符号，很明显积分不能像an那样消失静电场．它所取的值与路径所包围的总电流成正比。因此，围绕导线的每条路径都产生相同的∫值B·dl；即。,μ0我,在那里我电流和μ0一个常数是否适用于任何特定的单位B，l,我都是要被衡量的。
如果路径中没有包含电流，则线积分消失，并且有一个潜在的φB可定义。的确，在的例子中，电势甚至可以定义为包含导体的路径，但它是多值的，因为它以标准增量μ增加0我每次路径都绕着电流。一个轮廓高度图可以用类似的多值等高线表示一个螺旋楼梯(或者更好的是一个螺旋斜坡)。列车员搬运我在这个例子中是斜面的轴。就像E在一个免费区域，其中divE= 0，所以也是divB= 0;其中φB可以定义，它服从拉普拉斯方程，∇2ϕB= 0。
在携带电流的导体或电流分布的任何区域内，而不是紧密地限制在细导线内，没有潜在的φB可以定义。现在n的变化B后遍历封闭路径不再是零或常数μ的整数倍0我但相当μ0乘以路径内的电流因此取决于所选的路径。为了把磁场和电流联系起来，需要一个新的函数旋度，它的名字暗示了与循环磁场线的连接。
一个向量的旋度，比如说旋度B，本身就是一个矢量。求旋度的分量B沿着任何选择的方向，画一个小的闭合路径的面积一个在垂直于这个方向的平面上，求直线的值积分∫B·戴斯。莱纳姆:绕着小路走。随着路径尺寸的缩小，积分随面积的减小而减小一个－1∫B·戴斯。莱纳姆:旋度的分量是多少B在选定的方向上。向量旋度的方向B点是其中的方向一个－1∫B·戴斯。莱纳姆:是最大的。
将此应用于带电流导体中的磁场，电流密度J定义为沿电流流动方向的矢量，而J是这样的J一个总电流是否流过一个小区域一个正常的J．的线积分B在这片区域的边缘一个旋度B如果一个非常小，这一定等于μ0乘以包含电流。由此可见
用笛卡尔坐标表示，
有类似的表达Jy而且Jz．这些是将磁场与产生磁场的电流联系起来的微分方程。
磁场也可以由变化的电场产生，电场也可以由变化的磁场产生。旋度微分方程对这些物理过程的描述B,∂E/∂τ和旋度E,∂B/∂τ是麦克斯韦方程组的核心电磁理论并说明了场论所特有的数学方法的力量。的数学描述中可以找到更多的例子流体运动，其中为局部速度v（r流体粒子的)构成一个散度和旋度的概念自然适用的场。