微分方程领域的例子
连续性
不可压缩流体的净通量流体流入或给定体积的流体是零。由于矢量的散度描述了无穷小元素的净通量,除以的体积元素,速度矢量v在一个不可压缩流体方程必须遵守divv= 0。如果是可压缩流体,然而,它的密度ρ(r因为压力或)随位置温度变化,净出口通量从一些小元素的质量是由div(ρv),这必须与内流体的密度的变化:
扩散
一个溶解分子或一个小粒子悬浮在液体中分子随机不断袭来的流体在其附近,由于它彷徨不定。这就是所谓的布朗运动在悬浮粒子的情况下。它通常是安全的假设每一个一分之一云类似的粒子移动的碰撞粒子间相互作用的流体,而不是自己。密集的云逐渐传播,就像一滴墨水在盛有水的烧杯中,这种扩散运动的结果是随机的,每个粒子独立游荡。两个方程可以写描述的平均行为。第一个是一个连续性方程:如果有n(r)单位体积颗粒周围的点r和粒子通量面积所描述的一个向量的元素F,这意味着粒子穿过单位面积的数量正常F在单位时间内,
描述了粒子守恒。其次,菲克定律州粒子的随机漫步导致平均漂移从地区少见,它们密集的地区,平均漂移速度成正比的梯度密度和梯度相反的意义:
在哪里D是一个常数,扩散常数。
这两个方程可以合并成一个微分方程的变化,n会接受,
它定义了独特的任何初始分布的粒子如何随着时间的推移将开发。因此,一滴墨水的扩散,而密切所描述的特定的解决方案,
在这C是一个常数取决于油墨粒子的总数下降。当t非常小的过程,所有的粒子都聚集在原点附近的r,但是,t增加,的半径集群增加的比例平方根中心的时间,而密度下降的3/2保持数量不变。粒子的分布与距离中心显示了三个不同的时期。从这个图可以计算出分数,任何选择的时间间隔后,已经远比一些选择距离原点。此外,由于每个粒子独立游荡的休息,这也给了单个粒子的概率将比这更远的迁移在同一时间。因此,有关单粒子的行为问题,而只有平均可以有效地给予回答,都已经被改造成一个严格场方程和解决。这是一个广泛使用的技术物理。
进一步的场方程的例子
方程描述传播波(电磁、声学、深水波浪,涟漪)在相关文章中,讨论的薛定谔方程控制粒子行为的概率波量子力学(见下文基本成分的物质)。体现的场方程特殊的理论相对论更复杂的空间和时间坐标不再是相互独立的,虽然涉及仍然是欧几里得几何学。在广义相对论,这个四维的几何时空非欧几里得的(看到相对论)。