科学方法的例子gydF4y2Ba

如今，科学家们理所当然地认为，每一次测量都有误差，因此，显然同一实验的重复会产生不同的结果。在gydF4y2Ba知识gydF4y2Ba气候gydF4y2Ba然而，在伽利略的时代，当逻辑三段论不承认是非之间的灰色地带是公认的推导结论的手段时，他的新程序远没有令人信服。在评价他的工作时，人们必须记住，现在所接受的报告科学成果的惯例是在伽利略时代很久之后才被采用的。因此，如果像上面所说的那样，他把从比萨斜塔上掉下来的两个物体一起落到地上的距离还不到一只手的宽度，那就不必如此了gydF4y2Ba推断出gydF4y2Ba他自己做了这个实验，或者，如果他做了，结果是如此完美。早一点(1586年)，佛兰德数学家确实做过一些这样的实验gydF4y2Ba西蒙方式gydF4y2Ba但是伽利略把结果理想化了。一个gydF4y2Ba光gydF4y2Ba一个球和一个重球不会同时落地，它们之间的差别也不总是一样的，因为不可能再现它们同时落地的理想状态。然而，伽利略感到满意的是，说它们一起下落比说它们的速率有显著差异更接近事实。这种对不完美的实验的理想化仍然是一个基本的科学过程，尽管现在人们认为提出(或至少有可供审查的)初步观察是恰当的，这样其他人就可以独立地判断他们是否准备接受作者的观点gydF4y2Ba结论gydF4y2Ba在一个理想的实验中会观察到什么。gydF4y2Ba

利用现代仪器的优势，可以通过重复伽利略自己所做的实验来说明这些原理，即测量一个球在一个平缓倾斜的通道中滚动不同距离所花费的时间。下面叙述的是一个真实的实验，目的是用一个非常简单的例子来说明理想化的过程是如何进行的，以及初步的结论如何可以经受更多的搜索检验。gydF4y2Ba

在黄铜槽上刻上等距6厘米(2.4英寸)的线，并用卡片将球固定在最高的线旁边。在取出卡片的瞬间，电子计时器启动，当球经过另一条线时，计时器停止。每个计时重复七次表明测量通常分布在一个范围内gydF4y2Ba^1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba_20.gydF4y2Ba大概是因为人类的原因gydF4y2Ba限制gydF4y2Ba．在这种情况下，测量服从gydF4y2Ba随机误差gydF4y2Ba，多次重复的平均值可以更好地估计如果消除了随机误差的来源会产生什么结果;改进估计的因素大致是gydF4y2Ba平方根gydF4y2Ba测量的次数。此外，误差理论可归因于德国数学家gydF4y2Ba卡尔·弗里德里希·高斯gydF4y2Ba允许人们对结果的可靠性进行定量估计，如表中常规符号±所示。这并不意味着第2栏中的第一个结果一定在0.671和0.685之间，而是说，如果对7个测量值的平均值进行多次测定，那么大约三分之二的测定值将在这个范围内。gydF4y2Ba

用a表示测量值gydF4y2Ba图gydF4y2Ba如gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba，伽利略无法使用，但在他担任科学家后不久就开发出来了gydF4y2Ba结果gydF4y2Ba这位法国数学家兼哲学家的著作gydF4y2Ba勒奈·笛卡尔gydF4y2Ba．这些点似乎位于抛物线附近，所绘制的曲线由方程定义gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 12gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba．这种匹配并不完美，值得尝试寻找一个更好的公式。由于在移开卡片以允许球滚动时启动计时器和在球通过标记时停止计时器的操作是不同的，除了随机之外，还有一种可能性gydF4y2Ba时机gydF4y2Ba误差，系统误差出现在每一个测量值gydF4y2BatgydF4y2Ba；也就是说，每次测量gydF4y2BatgydF4y2Ba或许可以解释为gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BatgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba,在那里gydF4y2BatgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba是一个未知的常数计时错误。如果是这样的话，人们可以看看测量的时间是否与距离有关，而不是与距离有关gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba一个gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是常数，但由gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BatgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba）gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba．这也可以通过首先将方程重写为图形来检验gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BatgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba)，说明当gydF4y2Ba值gydF4y2Ba的gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2BaxgydF4y2Ba的测量值gydF4y2BatgydF4y2Ba他们应该躺在一条直线上。gydF4y2Ba图2gydF4y2Ba验证了这一预测;这条直线不经过原点，而是以- 0.09秒的速度与横轴相交。由此，我们可以推断出那个gydF4y2BatgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba= 0.09秒，并且(gydF4y2BatgydF4y2Ba+ 0.09)gydF4y2BaxgydF4y2Ba附件中给出的所有尺寸对都应该是一样的吗gydF4y2Ba点击这里查看全尺寸表格gydF4y2Ba表格第三列表明情况确实如此。的确，从估计误差的角度来看，恒常性比可能预期的要好。这必须被视为统计上的意外;它并不意味着更大gydF4y2Ba保证gydF4y2Ba如果最后一栏的数字在0.311到0.315之间(它们很有可能做到这一点)，那么公式的正确性就会大大降低。如果重复整个实验会产生如此几乎不变的结果，人们会感到惊讶。gydF4y2Ba

因此，一个可能的结论是，由于某种原因——可能是观测偏差——测量的时间比实际时间低估了0.09秒gydF4y2BatgydF4y2Ba一个球，从静止开始，移动一段距离gydF4y2BaxgydF4y2Ba．如果是的话，在理想条件下gydF4y2BaxgydF4y2Ba会严格成正比吗gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba．在进一步的实验中，沟道设置在不同的但仍然是平缓的斜坡上，这表明一般规律是这样的gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba一个gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba与斜率成正比。这gydF4y2Ba试探性的gydF4y2Ba理想的实验测量可能需要修改，甚至放弃，根据进一步的实验。然而，既然它已被转化为数学形式，就可以用数学方法对其进行分析，以揭示它所暗示的结果。此外，这也将提供更深入的测试方法。gydF4y2Ba

从一个图，如gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba，显示了如何gydF4y2BaxgydF4y2Ba取决于gydF4y2BatgydF4y2Ba，就可以推断出gydF4y2Ba瞬时速度gydF4y2Ba任何时刻的球。这是曲线在选定值处的切线斜率gydF4y2BatgydF4y2Ba；在gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0.6秒，例如，所画的切线描述如何gydF4y2BaxgydF4y2Ba会与gydF4y2BatgydF4y2Ba对于一个以14cm / s的恒定速度运动的球。在此之前斜率较低，之后斜率较高，表明球在稳步加速。可以在不同的值处画切线gydF4y2BatgydF4y2Ba得出的结论是，瞬时速度大致与球开始滚动所经过的时间成正比。这一过程，其不可避免的不准确性，是不必要的应用初等微积分的假设公式。瞬时速度gydF4y2BavgydF4y2Ba是的导数gydF4y2BaxgydF4y2Ba关于gydF4y2BatgydF4y2Ba；如果gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba含义gydF4y2Ba速度严格地与经过的时间成正比这张图是gydF4y2BavgydF4y2Ba反对gydF4y2BatgydF4y2Ba就是一条穿过原点的直线。在这些量的任何图形上，无论是直的还是不直的，任何一点的切线斜率都显示了速度在那一刻是如何随时间变化的;这是gydF4y2Ba瞬时加速度gydF4y2BafgydF4y2Ba．的直线图gydF4y2BavgydF4y2Ba反对gydF4y2BatgydF4y2Ba，斜率和加速度在任何时候都是相同的。用数学表达,gydF4y2BafgydF4y2Ba＝gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba＝gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba；在目前的情况下，gydF4y2BafgydF4y2Ba取常数值2gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

因此，初步的结论是，一个沿着直线斜坡滚动的球受到恒定的加速度，加速度的大小与斜率成正比。现在有可能通过找到它对不同实验安排的预测来检验结论的有效性。如果可能的话，建立一个实验，允许比前期的测量更精确的测量gydF4y2Ba推理gydF4y2Ba．这样的测试是通过一个球在弯曲的通道中滚动，使其中心划出一个半径的圆弧来进行的gydF4y2BargydF4y2Ba如gydF4y2Ba图3gydF4y2Ba．如果弧较浅，则在一定距离处的坡度gydF4y2BaxgydF4y2Ba离它的最低点很近gydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2BargydF4y2Ba，使球向最低点的加速度成正比gydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2BargydF4y2Ba．介绍gydF4y2BacgydF4y2Ba为了表示比例常数，我们把它写成agydF4y2Ba微分方程gydF4y2Ba

在这张图上，我们可以看到gydF4y2BaxgydF4y2Ba随gydF4y2BatgydF4y2Ba，曲率gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba正比于gydF4y2BaxgydF4y2Ba并且有相反的符号，如图所示gydF4y2Ba图4gydF4y2Ba．当图形穿过gydF4y2Ba轴gydF4y2Ba，gydF4y2BaxgydF4y2Ba因此曲率为零，直线局部是直线。这张图表示了球在±两个极值之间的摆动gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba在它被释放之后gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba在gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0。用图解表示的微分方程的解是gydF4y2Ba

ω在哪里，叫做gydF4y2Ba角频率gydF4y2Ba，是为gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba（gydF4y2BacgydF4y2Ba/gydF4y2BargydF4y2Ba）gydF4y2Ba．球需要时间gydF4y2BaTgydF4y2Ba= 2π/ω = 2πgydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba/gydF4y2BacgydF4y2Ba）gydF4y2Ba使静止:回到原来的静止位置，之后振荡无限重复或直到摩擦使球静止gydF4y2Ba

根据这一分析，该gydF4y2Ba期gydF4y2Ba，gydF4y2BaTgydF4y2Ba，是独立的gydF4y2Ba振幅gydF4y2Ba这是意料之外的gydF4y2Ba预测gydF4y2Ba是一种可能经过严格测试的方法。而不是让球在一个弯曲的通道上滚动，通过使它成为一个简单的鲍勃更容易和准确地实现相同的路径gydF4y2Ba摆gydF4y2Ba．为了检验周期与振幅无关，可以使两个钟摆尽可能地完全相同，这样当它们以相同的振幅摆动时就能保持同步。然后它们以不同的振幅摆动。它需要非常小心地检测周期的任何差异，除非一个振幅很大，当周期略长时。一个与预测非常接近但又不完全一致的观察结果，并不一定表明最初的假设是错误的。在这种情况下，预测周期恒定的微分方程本身就是一个近似值。当用斜率的真实表达式进行重新表述时gydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2BargydF4y2Ba，该解(涉及相当复杂的数学)显示了一个已被严格验证的周期与振幅的变化。这一初步假设非但没有遭到质疑，反而出现了gydF4y2Ba增强gydF4y2Ba支持。gydF4y2Ba

伽利略的gydF4y2Ba法律gydF4y2Ba加速度，2π表达式的物理基础gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba/gydF4y2BacgydF4y2Ba）gydF4y2Ba在此期间，进一步加强了发现gydF4y2BaTgydF4y2Ba的平方根直接变化gydF4y2BargydF4y2Ba即:，the length of the pendulum.

此外，这样的测量允许常数的值gydF4y2BacgydF4y2Ba以很高的精度来确定，并且发现它与加速度相吻合gydF4y2BaggydF4y2Ba自由落体的。事实上，一个简单的钟摆长度的小摆动周期的公式gydF4y2BargydF4y2Ba，gydF4y2BaTgydF4y2Ba= 2πgydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba/gydF4y2BaggydF4y2Ba）gydF4y2Ba这是一些最精确的测量方法的核心gydF4y2BaggydF4y2Ba．这是不可能发生的，除非科学gydF4y2Ba社区gydF4y2Ba已经接受了伽利略对理想行为的描述，并且不期望因微小的偏差而动摇自己的信念，只要这些偏差可以被理解为反映了理想与其实验实现之间不可避免的随机差异。的发展gydF4y2Ba量子力学gydF4y2Ba在20世纪的第一个四分之一的刺激是不情愿的接受，这一描述系统地失败时，应用于对象gydF4y2Ba原子的大小gydF4y2Ba．在这种情况下，这不是一个把物理思想转化为时间变化的问题gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba更准确地说;整个物理基础需要彻底修正。gydF4y2Ba然而,gydF4y2Ba在美国，早期的想法并没有被抛弃——它们被发现在太多的应用中效果很好，不能被抛弃。出现的情况是对可以安全地假定其绝对有效性的情况有了更清晰的理解。gydF4y2Ba