这个词概率在日常会话中有几种意思。其中两个对概率数学理论的发展和应用特别重要。一种是对概率的解释相对频率，其中包括硬币、纸牌、骰子和轮盘赌的简单游戏提供了例子。机会游戏的独特之处在于，给定试验的结果不能被确定地预测，尽管有可能集体大量试验的结果显示出一定的规律性。例如，投掷a时“正面”的概率硬币等于1 / 2，根据相对频率的解释，意味着在大量抛掷中，“正面”实际出现的相对频率大约是1 / 2，尽管它不包含“正面”含义关于掷硬币的结果。还有许多类似的例子涉及人群、气体分子、基因等等。精算报表预期寿命对于某一年龄的人来说，描述的是大量个人的集体经历，但并不打算说任何特定的人会发生什么。同样，关于父母具有已知基因组成的孩子发生遗传疾病的几率的预测是关于在大量病例中发生相对频率的陈述，而不是对特定个体的预测。

这篇文章包含概率论的重要数学概念的描述，说明了一些应用，刺激了他们的发展。为了更全面地了解历史，看到概率统计．由于应用程序不可避免地涉及简化假设，即以牺牲其他特征为代价关注问题的某些特征，因此从简单开始考虑是有利的实验，比如抛硬币或掷骰子，然后再看这些是怎么明显的无聊的调查涉及重要的科学问题。

实验，样本空间，事件，等概率

简单概率实验的应用

概率论的基本组成部分是一个实验，可以重复，至少假设，在基本相同的条件下，可能导致不同的试验不同的结果。的集一个实验的所有可能结果被称为“样本空间”。投掷一次硬币的实验结果是有两种可能结果的样本空间，“正面”和“反面”。扔两个骰子有一个有36个可能结果的样本空间，每个结果都可以用一个有序的对(我，j),我而且j假设其中一个值1、2、3、4、5、6和表示每个骰子上显示的面孔。重要的是要将骰子视为可识别的(例如通过颜色的差异)，因此结果(1,2)与(2,1)是不同的。“事件”是样本空间的一个定义良好的子集。例如，事件“两个骰子上显示的面之和等于6”由五种结果(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)和(5,1)组成。

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定义:数学术语

第三个例子是画画n从装有各种颜色球的瓮中取出的球。这个实验的一般结果是n-tuple，其中我条目指定在我抽签(我= 1, 2，…n)．在尽管对该实验的简单性，有了透彻的了解，为其提供了理论依据民意调查还有抽样调查。例如，在选举中支持某一特定候选人的人群中，个体可能被识别为特定颜色的球，支持不同候选人的人群可能被识别为不同颜色的球，等等。概率论为从瓮中抽取的球样中了解瓮内的物质提供了基础;一个应用是根据从人口中抽取的样本来了解人口的选举偏好。

简单瓮模型的另一个应用是使用临床试验设计来判定是否有新的治疗对于一种疾病，一种新药或一种新的外科手术比标准的治疗方法更好。在简单的情况下，治疗可以被视为或成功或失败，目标临床试验就是发现新疗法是否比标准疗法更容易成功。患有这种疾病的病人可以通过骨灰盒里的球来识别。红球代表新疗法治愈的病人，黑球代表未治愈的病人。通常会有对照组他们接受标准治疗。它们由第二个瓮表示，瓮中可能有不同比例的红球。从每个瓮中抽取一定数量的球的实验目的是根据样本发现哪个瓮的红球比例更大。这种想法的变体可以用来测试功效一种新的疫苗也许最大和最著名的例子是索尔克疫苗的试验小儿麻痹症进行于1954年。它是由美国公共卫生服务组织的，有近200万儿童参与。它的成功导致在世界工业化地区几乎完全消除了小儿麻痹症这一健康问题。严格地说，这些应用是统计学问题，概率论为其提供了基础。

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与上面描述的实验相反，许多实验有无限多种可能的结果。例如，你可以抛硬币，直到第一次出现正面为止。可能抛掷的次数是n= 1,2，....另一个例子是旋转转轮。理想的直筒式转轮行没有宽度并以其中心为轴心的线段，可能结果的集合是转轮最终位置与某个固定方向所形成的所有角度的集合，等价于[0,2 π)中的所有实数。自然科学和社会科学中的许多测量，如体积、电压、温度、反应时间，边际收入等等是在连续的尺度上产生的，至少在理论上包含无限多的可能值。如果在不同的主题上重复测量或在不同的时间对同一主题进行测量会导致不同的结果，概率论是研究这种可变性的可能工具。

由于它们的比较简单，实验与有限的样本空间首先讨论。在概率论发展的早期，数学家们只考虑那些基于对称性的考虑，认为实验的所有结果都是“等可能的”的实验。那么在大量的试验中，所有的结果都应该以大致相同的频率出现。事件的概率定义为比对事件有利的情况的数量，即。，the number of outcomes in the subset of the sample space defining the event—to the total number of cases. Thus, the 36 possible outcomes in the throw of two dice are assumed equally likely, and the probability of obtaining “six” is the number of favourable cases, 5, divided by 36, or 5/36.

现在假设抛硬币n次数，并考虑事件“正面不出现”的概率n扔。实验的一个结果是n元组,k的结果k扔掉。因为每次投掷都有两种可能的结果，所以样本空间中的元素数量是2ⁿ．在这些结果中，只有一个结果对应于没有正面，所以所需的概率是1/2ⁿ．

确定“最多一次正面”的概率只是稍微难一点。除了没有出现头部的单一情况外，还有n只有一个正面出现的情况，因为它可以出现在第一个、第二个、……或n扔掉。因此，有n+ 1个有利于最多得到一个正面的情况，期望概率为(n+ 1) / 2ⁿ．