概率论|全书-马尔可夫链的过程yabo亚博网站首页手机</t我tle> <link href="https://cdn.britannica.com/mendel-resources/3-82/dist/vendor-bundle.css?v=3.82.6" rel="stylesheet"> <link href="https://cdn.britannica.com/mendel-resources/3-82/dist/mendel-css.css?v=3.82.6" rel="stylesheet"> <link href="https://cdn.britannica.com/mendel-resources/3-82/dist/topic-page.css?v=3.82.6" rel="stylesheet"> </head> <body data-ads-manager="cafeMedia" data-leg="B" class="new-topic topic-desktop first-page-false user-ANONYMOUS user-ads md-desktop leg-b"> <header id="header" class="bg-navy-dark shadow-lg border-bottom border-black"> <div class="grid gx-0 align-items-center"> <div class="col-auto order-1 order-sm-0 d-none d-sm-block"> <a href="//www.rctutku.com/" class="mx-10 mx-sm-20 d-flex align-items-center"><img loading="lazy" src="https://cdn.britannica.com/mendel/eb-logo/MendelNewThistleLogo.png" alt="大英百科全书yabo亚博网站首页手机" width="123"></a> </div> <div class="col grid"> <div class="col-65 col-md-40 col-lg-auto d-none d-sm-inline-block py-5 px-0"> <div class="global-nav-search-container"> <form method="get" action="/search" id="global-nav-search" class="md-search-form "> <div class="search-box position-relative col-100"> <label class="sr-only" for="global-nav-search-query">搜索大英百科全yabo亚博网站首页手机书</label> <input name="query" id="global-nav-search-query" placeholder="Search Britannica..." class="form-control form-control-lg font-16 search-query pl-20 pr-70 shadow-sm" maxlength="200" autocomplete="off" aria-label="Search Britannica"> <button class="search-reset-btn btn btn-link px-10 position-absolute top-0 h-100 d-none" type="reset"><em class="material-icons" data-icon="close"></em></button> <button class="search-submit btn btn-link text-blue px-10 position-absolute top-0 right-0 h-100" type="submit" disabled><span class="sr-only">点击这里进行搜索</年代p一个n><em class="material-icons" data-icon="search"></em></button> </div> </form> </div> </div> <div class="col d-flex align-items-center"> <button class="js-toggle js-toggle-hamburger btn btn-link link-white btn-sm rounded-0 ml-10 px-0"><em class="material-icons inactive-icon" data-icon="menu"></em><em class="material-icons active-icon" data-icon="close"></em><span class="d-none d-sm-inline-block ml-5 p-0">浏览</年代p一个n></button> <button class="d-sm-none js-toggle js-toggle-search-flyout btn btn-link link-white btn-sm rounded-0"><em class="material-icons inactive-icon" data-icon="search"></em><em class="material-icons active-icon" data-icon="close"></em></button> <a class="d-none d-md-inline-block link-white font-14 ml-20" href="//www.rctutku.com/dictionary">字典</一个><一个class="d-none d-md-inline-block link-white font-14 ml-20" href="//www.rctutku.com/quiz/browse">小测验</一个><一个class="d-none d-md-inline-block link-white font-14 ml-20" href="//www.rctutku.com/money">钱</一个></d我v> </div> <div class="col-35 d-sm-none text-center"> <a href="//www.rctutku.com/" class="d-flex align-items-center justify-content-center"><img loading="lazy" src="https://cdn.britannica.com/mendel/eb-logo/MendelNewThistleLogo.png" alt="大英百科全书yabo亚博网站首页手机" width="119"></a> </div> <div class="col-35 col-sm-auto text-right order-3 mr-lg-15 align-items-center d-flex justify-content-end"> <div class="d-none d-md-inline-block"> <span class="marketing-HEADER_SUBSCRIPTION_DESKTOP2 marketing-content" data-marketing-id="HEADER_SUBSCRIPTION_DESKTOP2"><a href="https://premium.britannica.com/premium-membership/?utm_source=premium&utm_medium=global-nav&utm_campaign=evergreen" class="subscribe-link btn btn-sm btn-orange-dark py-5 mr-10" target="_blank" rel="noopener">订阅</一个></年代p一个n></d我v> <div class="d-inline-block d-md-none"> <span class="marketing-HEADER_SUBSCRIPTION_MOBILE marketing-content" data-marketing-id="HEADER_SUBSCRIPTION_MOBILE"><a href="https://premium.britannica.com/premium-membership/?utm_source=premium&utm_medium=global-nav-mobile&utm_campaign=evergreen" class="subscribe-link btn btn-xs btn-orange-dark p-5" target="_blank" rel="noopener">订阅</一个></年代p一个n></d我v> <button class="js-toggle-user-dropdown js-toggle btn btn-sm btn-link link-white rounded-0 px-md-15 pl-10 pr-5"><span class="d-none d-md-inline-block mr-5">登录</年代p一个n><em class="material-icons d-inline-block d-md-none font-20" data-icon="account_circle"></em><em class="material-icons inactive-icon d-inline-block font-18" data-icon="keyboard_arrow_down"></em><em class="material-icons active-icon d-inline-block font-18" data-icon="keyboard_arrow_up"></em></button> </div> </div> <div id="global-nav-react"> <ul class="d-none"> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Entertainment-Pop-Culture">娱乐与流行文化</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Geography-Travel">地理和旅游</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Health-Medicine">健康与医学</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Lifestyles-Social-Issues">生活方式和社会问题</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Literature">文学</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Philosophy-Religion">哲学与宗教</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Politics-Law-Government">政治、法律和政府</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Science">科学</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Sports-Recreation">体育和娱乐</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Technology">技术</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/Visual-Arts">视觉艺术</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/browse/World-History">世界历史</一个></li> </ul> <ul class="d-none"> <li><a href="//www.rctutku.com/on-this-day">亚博体育手机安卓版历史上在这一天</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/quiz/browse">小测验</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/podcasts">播客</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/dictionary">字典</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/biographies">传记</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/summary">摘要</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/question">上面的问题</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/week-in-review">周检查</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/study/infographics">信息图</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/stories/demystified">揭秘</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/list/browse">列表</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/stories/wtfact"># WTFact</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/stories/companion">同伴</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/gallery/browse">图像画廊</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/stories/spotlight">关注的焦点</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/stories/the-forum">论坛</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/one-good-fact">一个良好的事实</一个></li> </ul> <ul class="d-none"> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Entertainment-Pop-Culture">娱乐与流行文化</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Geography-Travel">地理和旅游</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Health-Medicine">健康与医学</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Lifestyles-Social-Issues">生活方式和社会问题</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Literature">文学</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Philosophy-Religion">哲学与宗教</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Politics-Law-Government">政治、法律和政府</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Science">科学</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Sports-Recreation">体育和娱乐</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Technology">技术</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/Visual-Arts">视觉艺术</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/World-History">世界历史</一个></li> </ul> <ul class="d-none"> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/britannica-classics">yabo亚博网站首页手机《大英百科全书》经典<br>看看这些复古的视频从大英百科全书的档案。yabo亚博网站首页手机</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/wtfact"># WTFact视频<br>在# WTFact大英yabo亚博网站首页手机百科全书股票的一些最奇怪的事实我们可以找到。</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/this-week-in-history">这一次在历史上<br>本月在这些视频,找出发生了什么(或任何月!)的历史。</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/demystified">揭秘视频<br>在启发,大英百科全书所有燃烧你的yabo亚博网站首页手机问题的答案。</一个></li> <li><a href="//www.rctutku.com/videos/explains">yabo亚博网站首页手机大英百科全书解释说<br>在这些视频中,大英百科全书解释了各yabo亚博网站首页手机种各样的主题和常见问题的答案。</一个></li> </ul> <ul class="d-none"> <li><a href="//www.rctutku.com/study/">学生门户</一个><br>yabo亚博网站首页手机大英百科全书是最终的学生资源等主要学习科目的历史,政府、文学,等等。</li> <li><a href="//www.rctutku.com/explore/savingearth/covid-19/">COVID-19门户</一个><br>虽然这全球健康危机继续发展,它可能是有用的看过去的今天更好地理解如何应对大流行。</li> <li><a href="//www.rctutku.com/explore/100women/">100名女性</一个><br>yabo亚博网站首页手机大英百科全书的百周年庆祝19修正案,凸显参政者和创造历史的政客。</li> <li><a href="https://beyond.britannica.com">yabo亚博网站首页手机《大英百科全书》之外</一个><br>我们已经创建了一个新的地方,问题是学习的中心。去做吧。问。我们不会介意的。</li> <li><a href="//www.rctutku.com/explore/savingearth/">拯救地球</一个><br>yabo亚博网站首页手机大英百科全书给21世纪地球的待办事项清单。了解我们的星球所面临的主要环境问题和对他们能做些什么!</li> <li><a href="//www.rctutku.com/explore/space/">SpaceNext50</一个><br>yabo亚博网站首页手机大英百科全书礼物SpaceNext50,从比赛到月球空间管理,探索各种各样的主题,我们对太空的好奇心!</li> </ul> </div> </header> <main> <div class="md-page-wrapper"> <div id="content" class="md-content"> <div class="md-article-container template-desktop infinite-pagination"> <div class="infinite-scroll-container article last"> <article class="article-content content md-expanded" data-topic-id="477530"> <div class="grid gx-0"> <div class="col-auto"> <div class="family-panel md-article-drawer position-relative d-flex border-right-sm open"> <div class="drawer d-flex flex-column open"> <div class="family-panel-header d-lg-flex grid gx-0 align-items-center border-bottom bg-white col-auto"> <div class="col"> <div class="p-15 text-truncate"> <a class="font-serif font-weight-bold font-14 text-black link-blue" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory">概率论</一个></d我v> </div> <div class="col-auto d-lg-none"> <button class="d-flex d-lg-none btn-link btn btn-sm shadow-sm js-sections-button pl-0 pr-10 mr-10"><em class="material-icons mr-5 ml-n10 my-n5 md-icon" data-icon="toc"></em>表的内容</button> </div> </div> <div class="family-section-content p-10 p-lg-0 col"> <div class="d-lg-none family-panel-close-header grid gx-0 align-items-center border-bottom bg-white rounded-tl-lg rounded-tr-lg shadow"> <div class="col"> <div class="p-15 text-truncate"> <a class="font-serif font-weight-bold font-14 text-black link-blue" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory">概率论</一个></d我v> </div> <div class="col-auto"> <button class="js-sections-close-button btn-link btn-sm btn py-5 pl-0 pr-10 mr-10"><em class="material-icons " data-icon="close"></em></button> </div> </div> <div class="section-content pt-10 pb-15 pr-10 pl-5 h-100 shadow"> <div class="toc ARTICLE mb-20"> <ul class="list-unstyled mb-0" data-level="h1"> <li data-target="#ref1"><a class="ml-25" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory">介绍</一个><d我v class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"></div></li> <li data-target="#ref32762"> <div class="d-flex align-items-center"> <button class="h1-link-drawer-button btn btn-xs btn-circle d-flex rounded" type="button" aria-label="Toggle Heading"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_right"></em></button> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory">实验,样本空间、事件和等可能的概率</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32763"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory">应用简单的概率实验</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32764"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-principle-of-additivity">可加性的原则</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32765"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-principle-of-additivity">多项概率</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32766"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-birthday-problem">生日的问题</一个></li> </ul> </div></li> <li data-target="#ref32767"> <div class="d-flex align-items-center"> <button class="h1-link-drawer-button btn btn-xs btn-circle d-flex rounded" type="button" aria-label="Toggle Heading"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_right"></em></button> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-birthday-problem">条件概率</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32768"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Applications-of-conditional-probability">条件概率的应用</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32769"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Applications-of-conditional-probability">独立</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32770"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Applications-of-conditional-probability">贝叶斯定理</一个></li> </ul> </div></li> <li data-target="#ref32771"> <div class="d-flex align-items-center"> <button class="h1-link-drawer-button btn btn-xs btn-circle d-flex rounded" type="button" aria-label="Toggle Heading"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_right"></em></button> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Applications-of-conditional-probability">随机变量分布、期望和方差</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32772"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Applications-of-conditional-probability">随机变量</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32773"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Probability-distribution">概率分布</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32774"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Probability-distribution">期望值</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32775"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Probability-distribution">方差</一个></li> </ul> </div></li> <li data-target="#ref32776"> <div class="d-flex align-items-center"> <div class="ml-25"></div> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/An-alternative-interpretation-of-probability">另一种解释概率</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"></div></li> <li data-target="#ref32777"> <div class="d-flex align-items-center"> <button class="h1-link-drawer-button btn btn-xs btn-circle d-flex rounded" type="button" aria-label="Toggle Heading"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_right"></em></button> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/An-alternative-interpretation-of-probability">大数定律和中心极限定理,和泊松近似</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32778"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/An-alternative-interpretation-of-probability">大数定律</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32779"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-central-limit-theorem">中心极限定理</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32780"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-central-limit-theorem">泊松近似</一个></li> </ul> </div></li> <li data-target="#ref32781"> <div class="d-flex align-items-center"> <button class="h1-link-drawer-button btn btn-xs btn-circle d-flex rounded" type="button" aria-label="Toggle Heading"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_right"></em></button> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-central-limit-theorem">无限的样本空间和概率公理</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32782"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-central-limit-theorem">无限的样本空间</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32783"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-strong-law-of-large-numbers">强大数定律</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32784"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-strong-law-of-large-numbers">测度理论</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32785"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/The-strong-law-of-large-numbers">概率密度函数</一个></li> </ul> </div></li> <li data-target="#ref32786"> <div class="d-flex align-items-center"> <div class="ml-25"></div> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Conditional-expectation-and-least-squares-prediction">条件期望和最小二乘预测</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"></div></li> <li data-target="#ref32787"> <div class="d-flex align-items-center"> <button class="h1-link-drawer-button btn btn-xs btn-circle d-flex rounded" type="button" aria-label="Toggle Heading"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_right"></em></button> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Conditional-expectation-and-least-squares-prediction">泊松过程和布朗运动过程</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32788"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Conditional-expectation-and-least-squares-prediction">泊松过程</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32789"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Brownian-motion-process">布朗运动过程</一个></li> </ul> </div></li> <li data-target="#ref32790"> <div class="d-flex align-items-center"> <button class="h1-link-drawer-button btn btn-xs btn-circle d-flex rounded" type="button" aria-label="Toggle Heading"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_right"></em></button> <a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Brownian-motion-process">随机过程</一个></d我v> <div class="ml-40 toc-drawer sub-toc-drawer"> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32791"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Brownian-motion-process">固定的流程</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32792"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Markovian-processes">马尔可夫链的过程</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32793"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Markovian-processes">埃伦的扩散模式</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32794"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Markovian-processes">对称随机漫步</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32795"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Markovian-processes">队列模型</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32796"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Markovian-processes">保险风险理论</一个></li> </ul> <ul class="list-unstyled" data-level="h2"> <li data-target="#ref32797"><a class="w-100" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/Markovian-processes">鞅理论</一个></li> </ul> </div></li> </ul> </div> <div class="toc FAST_FACTS"> <div class="label pb-5 ml-15"> 快速的事实</d我v> <ul class="list-unstyled mb-0 pb-20 " data-level="h1"> <li data-target="#probability-theory"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/summary/probability-theory">概率理论总结</一个></li> <li data-target="#facts-probability-theory"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/facts/probability-theory">相关内容</一个></li> <li data-target="#Quiz-477530"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/facts/probability-theory">小测验</一个></li> </ul> </div> <div class="toc MEDIA"> <div class="label pb-5 ml-15"> 媒体</d我v> <ul class="list-unstyled mb-0 pb-20 " data-level="h1"> <li data-target="#Images-probability-theory"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/images-videos">图片</一个></li> </ul> </div> <div class="toc INFO"> <div class="label pb-5 ml-15"> 更多的</d我v> <ul class="list-unstyled mb-0 pb-20 " data-level="h1"> <li data-target="#More-Articles"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/additional-info" rel="nofollow">更多关于这个主题的文章</一个></li> <li data-target="#Additional-Reading"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/additional-info" rel="nofollow">更多的阅读</一个></li> <li data-target="#contributors-probability-theory"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/additional-info" rel="nofollow">贡献者</一个></li> <li data-target="#history-probability-theory"><a class="w-95 ml-25" href="//www.rctutku.com/science/probability-theory/additional-info" rel="nofollow">文章历史</一个></li> </ul> </div> </div> </div> </div> <button class="drawerToggle btn position-sticky border btn-xs btn-white btn-circle rounded d-none d-lg-flex " type="button" aria-label="Toggle Drawer"><em class="material-icons font-18" data-icon="keyboard_arrow_left"></em></button> </div> </div> <div class="col"> <div class="container p-0 p-sm-20 ml-0"> <div class="grid gx-0 gx-sm-20"> <div class="col-sm mendel-content-rail"> <div class="border-top"></div> <div class="infinite-pagination-container"> <div class="grey-box w-100 grey-box-bottom"> <div class="topic-content pt-sm-15"> <div class="mt-60 mt-sm-0"></div>  <span class="marker before-article"></span> <section id="ref" data-level="1"> <section id="ref32792" data-level="2"> <h1 class="h2"><span id="ref407469"></span><a href="//www.rctutku.com/science/Markov-process" class="md-crosslink" data-show-preview="true">马尔可夫链的过程</一个></h1> <p class="topic-paragraph">随机过程称为马尔可夫过程的(在俄罗斯数学家<一个href="//www.rctutku.com/biography/Andrey-Andreyevich-Markov" class="md-crosslink" data-show-preview="true">安德烈Andreyevich马尔可夫</一个>如果在任何时候<em>t</em>的<一个href="//www.rctutku.com/science/conditional-probability" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">条件概率</一个>任意的未来事件给整个process-i.e的过去。,鉴于<em>X</em>(<em>年代</em>)为所有<em>年代</em>≤<em>t</em>等于给定未来事件的条件概率<em>X</em>(<em>t</em>)。因此,为了使一个概率对未来行为的声明<一个href="//www.rctutku.com/science/Markov-process" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">马尔可夫过程</一个>,这不是更有助于了解整个历史过程比只知道其当前状态。的条件分布<em>X</em>(<em>t</em>+<em>h</em>)给<em>X</em>(<em>t</em>)称为<年代p一个n我d="ref407470"></span>过程的转移概率。如果这个条件分布不依赖<em>t</em>据说,这一过程“静止”<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="transition" href="//www.rctutku.com/dictionary/transition" data-type="EB">过渡</一个>概率。一个马尔可夫过程<年代p一个n我d="ref407471"></span>平稳过渡概率可能会或可能不会是一个固定的过程在前款规定的感觉。如果<em>Y</em><sub>1</年代ub>,<em>Y</em><sub>2</年代ub>,独立随机变量和…<em>X</em>(<em>t</em>)=<em>Y</em><sub>1</年代ub>+⋯+<em>Y</em><sub><em>t</em></sub>,随机过程<em>X</em>(<em>t</em>)是一个马尔可夫过程。鉴于<em>X</em>(<em>t</em>)=<em>x</em>的条件概率<em>X</em>(<em>t</em>+<em>h</em>)属于一个间隔(<em>一个</em>,<em>b</em>)是<一个href="//www.rctutku.com/science/probability" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">概率</一个>那<em>Y</em><sub><em>t</em>+ 1</年代ub>+⋯+<em>Y</em><sub><em>t</em>+<em>h</em></sub>属于翻译时间间隔(<em>一个</em>−<em>x</em>,<em>b</em>−<em>x</em>);独立,因为这个条件概率的值相同<em>X</em>(1)、…<em>X</em>(<em>t</em>−1)也。如果<em>Y</em>s是恒等分布以及独立,这种转变并不依赖于概率<em>t</em>,然后<em>X</em>(<em>t</em>)是一个马尔可夫过程<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="stationary" href="//www.rctutku.com/dictionary/stationary" data-type="EB">静止的</一个>过渡的可能性。有时<em>X</em>(<em>t</em>)被称为<年代p一个n我d="ref407472"></span><a href="//www.rctutku.com/science/random-walk" class="md-crosslink" data-show-preview="true">随机漫步</一个>,但这个术语并不是完全的标准。由于泊松过程和<一个href="//www.rctutku.com/science/Brownian-motion" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">布朗运动</一个>创建从随机漫步通过简单的限制的过程,他们也与平稳过渡概率马尔科夫过程。Ornstein-Uhlenbeck过程定义为解决方案(<一个href="#ref-14387">19</一个>)随机<一个href="//www.rctutku.com/science/differential-equation" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">微分方程</一个>(<一个href="#ref-14388">18</一个>)也是一个马尔可夫过程平稳过渡概率。</p> <span class="marker p1"></span>  <span class="marker AM1 am-inline"></span>  <span class="marker MOD1 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">Ornstein-Uhlenbeck过程和许多其他的马尔可夫过程和平稳过渡概率像静止的过程<em>t</em>→∞。大致说来,的条件分布<em>X</em>(<em>t</em>)给<em>X</em>(0)=<em>x</em>收敛,<em>t</em>→∞一个分布,称为<年代p一个n我d="ref407473"></span>平稳分布,并不依赖于开始<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="value" href="//www.rctutku.com/dictionary/value" data-type="EB">价值</一个><em>X</em>(0)=<em>x</em>。此外,以概率1,这个过程花费的时间比例在任何子集的状态空间收敛于设定的固定的概率;而且,如果<em>X</em>(0)开始平稳分布,给出了过程成为一个固定的过程。Ornstein-Uhlenbeck过程中定义<一个href="//www.rctutku.com/science/equation" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">方程</一个>(19)是静止的<em>V</em>(0)<一个href="//www.rctutku.com/topic/normal-distribution" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">正态分布</一个>意思是0和<一个href="//www.rctutku.com/topic/variance" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">方差</一个>σ<年代up>2</年代up>/ (2<em>米</em><em>f</em>)。</p> <span class="marker p2"></span>  <span class="marker AM2 am-inline"></span>  <span class="marker MOD2 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">在另一个极端<年代p一个n我d="ref407474"></span>吸收过程。一个例子是马尔可夫过程描述彼得的财富在比赛中赌徒的毁灭。这个过程是吸收当彼得或者保罗是毁了。感兴趣的问题涉及被吸收的概率在一个状态而不是另一个时间的分布至吸收。一些额外的随机过程遵循的例子。</p> <span class="marker p3"></span>  <span class="marker AM3 am-inline"></span>  <span class="marker MOD3 mod-inline"></span> </section> <section id="ref32793" data-level="2"> <h2 class="h2">的<年代p一个n我d="ref407475"></span>埃伦扩散模型</h2><pclass="topic-paragraph">的“埃伦模型<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off mw" data-term="diffusion" href="https://www.merriam-webster.com/dictionary/diffusion" data-type="MW">扩散</一个>(奥地利荷兰物理学家保罗·埃伦命名)提出了在1900年代初为了<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off mw" data-term="illuminate" href="https://www.merriam-webster.com/dictionary/illuminate" data-type="MW">照亮</一个>的统计解释<一个href="//www.rctutku.com/science/second-law-of-thermodynamics" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">热力学第二定律</一个>,<年代p一个n我d="ref407476"></span><a href="//www.rctutku.com/science/entropy-physics" class="md-crosslink" data-show-preview="true">熵</一个>一个封闭的系统只能增加。假设<em>N</em>气体分子在一个矩形容器渗透膜分成两个相等的部分。系统的状态<em>t</em>是<em>X</em>(<em>t</em>的数量),分子膜的左边。在每一个时间<em>t</em>= 1,2,…随机选择一个分子(即。,每个分子都有概率1 /<em>N</em>被选中),从目前的位置转移到膜的另一边。因此,系统进化根据转移概率<em>p</em>(<em>我</em>,<em>j</em>)=<em>P</em>{<em>X</em>(<em>t</em>+ 1)=<em>j</em>|<em>X</em>(<em>t</em>)=<em>我</em>},<年代p一个nclass="md-formula"><span id="ref-14360"></span><img src="https://cdn.britannica.com/60/14360-004-E981DB6D/Equations.jpg" alt="方程。" class="inline-image-baseline"></span></p>  <span class="marker p4"></span>  <span class="marker AM4 am-inline"></span>  <span class="marker MOD4 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">埃伦的长期行为过程可以推断出从一般定理在离散时间马尔可夫过程与离散状态空间和平稳过渡概率。让<em>T</em>(<em>j</em>第一次)表示<em>t</em>≥1,<em>X</em>(<em>t</em>)=<em>j</em>和<一个href="//www.rctutku.com/topic/set-mathematics-and-logic" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">集</一个><em>T</em>(<em>j</em>)=∞如果<em>X</em>(<em>t</em>)≠<em>j</em>对所有<em>t</em>。假定所有国家<em>我</em>和<em>j</em>有可能从过程<em>我</em>来<em>j</em>在一些steps-i.e。,<em>P</em>{<em>T</em>(<em>j</em>)<∞|<em>X</em>(0)=<em>我</em>}> 0。如果方程<年代p一个nclass="md-formula"><span id="ref-14386"></span><img src="https://cdn.britannica.com/86/14386-004-8B016127/Equation.jpg" alt="方程。" class="inline-image-baseline"></span>有一个解决方案<em>问</em>(<em>j</em>)这是一个概率分布。<em>问</em>(<em>j</em>)≥0,Σ<em>问</em>(<em>j</em>)= 1时,解决方案是独一无二的,是过程的平稳分布。此外,<em>问</em>(<em>j</em>)= 1 /<em>E</em>{<em>T</em>(<em>j</em>)|<em>X</em>(0)=<em>j</em>};对于任何初始状态<em>j</em>,时间的比例<em>t</em>那<em>X</em>(<em>t</em>)=<em>我</em>与概率1收敛<em>问</em>(<em>我</em>)。</p> <span class="marker p5"></span>  <span class="marker AM5 am-inline"></span>  <span class="marker MOD5 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">特殊情况的埃伦的过程,假设<em>N</em>又大又<em>X</em>(0)= 0。根据热力学第二定律的确定性预测<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off mw" data-term="entropy" href="https://www.merriam-webster.com/dictionary/entropy" data-type="MW">熵</一个>这一系统只会增加,这意味着<em>X</em>(<em>t</em>)将稳步增长,直到一半的分子膜的两侧。事实上,根据上述随机模型,有压倒性的概率<em>X</em>(<em>t</em>最初)增加。然而,由于随机波动,系统偶尔从配置有大的熵的熵较小甚至最终返回到起始状态,热力学第二定律的无视。</p> <span class="marker p6"></span>  <span class="marker AM6 am-inline"></span>  <span class="marker MOD6 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">公认的决议<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="contradiction" href="//www.rctutku.com/dictionary/contradiction" data-type="EB">矛盾</一个>是这样的一个系统的时间必须在订单一个可观测的熵的减少可能发生的非常非常长,永远不可能减少实验验证。只考虑最极端的情况下,让<em>T</em>表示第一次<em>t</em>≥1,<em>X</em>(<em>t</em>)= 0-i.e。,的t我米e of first return to the starting configuration having all molecules on the right-hand side of the membrane. It can be verified by substitution in equation (<一个href="#ref-14386">20.</一个>),是“埃伦的平稳分布模型<一个href="//www.rctutku.com/science/binomial-distribution" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">二项分布</一个><年代p一个nclass="md-formula"><span id="ref-76622"></span><img src="https://cdn.britannica.com/22/76622-004-DA978066/Problem.jpg" alt="问题12" class="inline-image-baseline"></span>因此<em>E</em>(<em>T</em>)= 2<年代up><em>N</em></sup>。例如,如果<em>N</em>只有100的速度和转换发生10<年代up>6</年代up>每秒,<em>E</em>(<em>T</em>10)的订单<年代up>15</年代up>年。因此,在宏观尺度上,可以进行实验测量,热力学第二定律。</p> <span class="marker p7"></span>  <span class="marker AM7 am-inline"></span>  <span class="marker MOD7 mod-inline"></span> </section> <section id="ref32794" data-level="2"> <h2 class="h2">的<年代p一个n我d="ref407477"></span>对称随机漫步</h2><pclass="topic-paragraph">马尔可夫过程,表现完全不同且令人惊奇的方式是对称随机漫步。一个粒子占据一个点与整数<一个href="//www.rctutku.com/science/coordinate-system" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">坐标</一个>在<em>d</em>维空间<一个href="//www.rctutku.com/science/Euclidean-space" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">欧氏空间</一个>。在每一个时间<em>t</em>= 1,2,…它从当前位置移动到一个2<em>d</em>最近的邻居以同样的概率1 / (2<em>d</em>),独立于其过去的动作。为<em>d</em>= 1这对应于步骤向右或向左移动根据扔一个公平的结果<一个href="//www.rctutku.com/topic/coin" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">硬币</一个>。它可能显示为<em>d</em>= 1或2粒子概率1恢复到初始位置,因此每一个可能的位置无限多次,如果随机漫步持续下去。在三个或更多维度,在任何时候<em>t</em>可能的步骤的数量,增加粒子从原点的距离远远大于数量减少的距离,结果最终粒子远离原点,永远不会返回。即使在一个或两个维度,尽管粒子最终回到其初始位置,预期的等待时间,直到它返回<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off mw" data-term="infinite" href="https://www.merriam-webster.com/dictionary/infinite" data-type="MW">无限</一个>,没有平稳分布,粒子花费的时间比例在任何状态下收敛于0 !</p> <span class="marker p8"></span>  <span class="marker AM8 am-inline"></span>  <span class="marker MOD8 mod-inline"></span> </section> <section id="ref32795" data-level="2"> <h2 class="h2"><span id="ref407478"></span><a href="//www.rctutku.com/science/queuing-theory" class="md-crosslink" data-show-preview="true">队列模型</一个></h2><pclass="topic-paragraph">最简单的服务体系是一个单服务器队列,客户到达,等待他们的,是由一个单独的服务器,离开。相关的随机过程的等待时间<em>n</em>th客户和顾客在排队时间的数量<em>t</em>。例如,假设客户到达* 0 =<em>T</em><sub>0</年代ub><<em>T</em><sub>1</年代ub><<em>T</em><sub>2</年代ub><⋯和等待<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="queue" href="//www.rctutku.com/dictionary/queue" data-type="EB">队列</一个>直到他们拐。让<em>V</em><sub><em>n</em></sub>表示所需的服务时间<em>n</em>客户,<em>n</em>= 0,1,2,…,并设置<em>U</em><sub><em>n</em></sub>=<em>T</em><sub><em>n</em></sub>−<em>T</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>。等待时间,<em>W</em><sub><em>n</em></sub>的,<em>n</em>客户满足的关系<em>W</em><sub>0</年代ub>= 0,<em>n</em>≥1,<em>W</em><sub><em>n</em></sub>= max (0,<em>W</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>+<em>V</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>−<em>U</em><sub><em>n</em></sub>)。看到这,观察<em>n</em>th客户必须等待的时间(<em>n</em>−1)th +客户的服务时间(<em>n</em>−1)th客户-之间的时间(的到来<em>n</em>−1)和<em>n</em>th客户,在此期间(<em>n</em>−1)客户已经等待但<em>n</em>客户不是。异常发生时如果这个量是负的,然后等待时间的<em>n</em>客户是0。可以对各种假设输入和服务机制。一种可能性是,客户根据泊松过程到达和他们的服务时间是独立同分布的随机变量,也独立于到达过程。然后,用<em>Y</em><sub><em>n</em></sub>=<em>V</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>−<em>U</em><sub><em>n</em></sub>,是独立同分布随机变量,定义递归关系<em>W</em><sub><em>n</em></sub>就变成了<em>W</em><sub><em>n</em></sub>= max (0,<em>W</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>+<em>Y</em><sub><em>n</em></sub>)。这个过程是一个马尔可夫过程。它通常被称为一个随机游走<年代p一个n我d="ref407479"></span>反射障碍(0),因为它像一个随机游走时是积极和推高等于0,每当它试图成为负数。感兴趣的量的均值和方差的等待时间<em>n</em>th客户和,因为这些都是很难准确地确定,平稳分布的均值和方差。更现实的排队模型试图适应系统与多个服务器和不同类型的客户,按照一定的优先级服务。在大多数情况下是不可能给一个数学<一个href="//www.rctutku.com/science/analysis-mathematics" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">分析</一个>系统的,必须在计算机上模拟,以获得计算结果。获得的见解的理论分析简单的情况下可以帮助执行这些模拟。排队论起源于试图理解交通在电话系统。现在的研究是刺激等,通过与多用户计算机系统相关的问题。</p> <span class="marker p9"></span>  <span class="marker AM9 am-inline"></span>  <span class="marker MOD9 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">反射障碍出现其他问题。例如,如果<em>B</em>(<em>t</em>)<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="denotes" href="//www.rctutku.com/dictionary/denotes" data-type="EB">表示</一个>布朗运动,然后<em>X</em>(<em>t</em>)=<em>B</em>(<em>t</em>)+<em>c</em><em>t</em>被称为漂移布朗运动吗<em>c</em>。该模型适合粒子的布朗运动的影响下<一个href="//www.rctutku.com/topic/constant" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">常数</一个>力场等重力。可以添加一个反射障碍在0到占了布朗粒子的反映它的容器的底部。沉降的结果是一个模型,<em>c</em>< 0在稳定状态<em>t</em>→∞给出的统计推导法的压力<一个href="//www.rctutku.com/science/function-mathematics" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">函数</一个>在等温大气的深度。一样可以获得普通的布朗运动的极限新随机漫步的步骤变得非常大的数量和大小的各个步骤很小,布朗运动在0可以获得反映障碍的限制新随机漫步和反射在0。以这种方式,布朗运动反映屏障在分析的过程中发挥作用<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="queuing" href="//www.rctutku.com/dictionary/queuing" data-type="EB">排队</一个>系统。事实上,现代概率论中最重要的用途之一布朗运动和其他扩散过程是作为更复杂的随机过程的近似。精确的数学描述这些近似使的概括<一个href="//www.rctutku.com/science/central-limit-theorem" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">中心极限定理</一个>从随机变量序列的随机序列的功能。</p> <span class="marker p10"></span>  <span class="marker AM10 am-inline"></span>  <span class="marker MOD10 mod-inline"></span> </section> <section id="ref32796" data-level="2"> <h2 class="h2">保险<年代p一个n我d="ref407480"></span><a href="//www.rctutku.com/topic/risk-finance" class="md-crosslink" data-show-preview="true">风险</一个>理论</h2><pclass="topic-paragraph">保险风险理论的破产问题密切相关的问题赌徒的毁了前面所描述的,而令人惊讶的是,单服务器队列。假设资本的时间<em>t</em>在一个投资组合保险公司用<em>X</em>(<em>t</em>)。最初<em>X</em>(0)=<em>x</em>> 0。在每个单元的时候,投资组合接收数量<em>c</em>在保费> 0。对随机次索赔<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="insurance" href="//www.rctutku.com/dictionary/insurance" data-type="EB">保险</一个>公司必须支付的金额<em>V</em><sub><em>n</em></sub>> 0解决<em>n</em>索赔。如果<em>N</em>(<em>t</em>)表示数量的主张<em>t</em>,然后<年代p一个nclass="md-formula"><span id="ref-76623"></span><img src="https://cdn.britannica.com/23/76623-004-7B8552AF/Problem.jpg" alt="13题" class="inline-image-baseline"></span>提供这个量一直积极的早期<em>年代</em><<em>t</em>。在第一次<em>X</em>(<em>t</em>)成为负数,然而,投资组合是毁了。保险风险理论的主要问题是找到最终破坏的概率。如果一个人认为的问题赌徒的毁灭被修改以便彼得的对手有一个无限数量的资本和永远不可能毁了,彼得的概率是最终毁了类似于保险风险理论的破产概率。事实上,随着人工假设(我)<em>c</em>= 1,(ii)时间的收益<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="discrete" href="//www.rctutku.com/dictionary/discrete" data-type="EB">离散</一个>单位,说<em>t</em>= 1,2,…,(3)<em>V</em><sub><em>n</em></sub>同等于2<em>n</em>每次,(iv)<em>t</em>索赔发生的概率<em>p</em>或不发生的概率<em>问</em>独立的发生在其他时候,然后这个过程<em>X</em>(<em>t</em>)是与彼得的命运相同的随机过程,这是吸收,如果它想进入状态0。对彼得的终极破产概率无限丰富的对手很容易获得通过的极限方程(6)<em>米</em>→∞。答案是(<em>问</em>/<em>p</em>)<年代up><em>x</em></sup>如果<em>p</em>><em>问</em>即:,的game is favourable to Peter—and 1 if<em>p</em>≤<em>问</em>。更有趣的假设为保险风险问题,索赔的数量<em>N</em>(<em>t</em>)是一个泊松过程和索赔的大小<em>V</em><sub>1</年代ub>,<em>V</em><sub>2</年代ub>积极,…是独立同分布<年代p一个n我d="ref407481"></span><a href="//www.rctutku.com/topic/random-variable" class="md-crosslink" data-show-preview="true">随机变量</一个>。而令人惊讶的是,在这些假设最终破坏的概率的函数初始财富<em>x</em>是一模一样的固定概率与泊松单服务器队列中的等待时间输入超过<em>x</em>。不幸的是,这两个问题都容易解决,虽然是一个很好的近似解最初由瑞典数学家哈拉尔德·克莱默。</p> <span class="marker p11"></span>  <span class="marker AM11 am-inline"></span>  <span class="marker MOD11 mod-inline"></span> </section> <section id="ref32797" data-level="2"> <h2 class="h2"><span id="ref407482"></span>鞅理论</h2><pclass="topic-paragraph">最后一个例子,似乎<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="appropriate" href="//www.rctutku.com/dictionary/appropriate" data-type="EB">适当的</一个>提到现代概率论的一个主导思想,同时弹簧直接关系的概率的游戏<一个href="//www.rctutku.com/science/likelihood" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">机会</一个>。假设<em>X</em><sub>1</年代ub>,<em>X</em><sub>2</年代ub>,任何随机过程和…,<em>n</em>= 0,1,…,<em>f</em><sub><em>n</em></sub>=<em>f</em><sub><em>n</em></sub>(<em>X</em><sub>1</年代ub>、…<em>X</em><sub><em>n</em></sub>)是一个(波莱尔可测)函数表示的观察。新的随机过程<em>f</em><sub><em>n</em></sub>被称为鞅如果<em>E</em>(<em>f</em><sub><em>n</em></sub>|<em>X</em><sub>1</年代ub>、…<em>X</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>)=<em>f</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>对于每一个值<em>n</em>> 0,所有的值<em>X</em><sub>1</年代ub>、…<em>X</em><sub><em>n</em>−1</年代ub>。如果序列<em>X</em>s是在连续试验结果的机会,一个游戏<em>f</em><sub><em>n</em></sub>后是一个赌徒的财富吗<em>n</em>th审判,那么鞅条件说,游戏是绝对公平的,无论什么游戏的历史,赌徒的条件期望财富后一个审判正好等于自己目前的境遇。例如,我们<em>X</em><sub>0</年代ub>=<em>x</em>,对于<em>n</em>≥1让<em>X</em><sub><em>n</em></sub>等于1或−1根据硬币的概率<em>p</em>的头和<em>问</em>= 1−<em>p</em>反面出现正面或反面的<em>n</em>扔掉。让<em>年代</em><sub><em>n</em></sub>=<em>X</em><sub>0</年代ub>+⋯+<em>X</em><sub><em>n</em></sub>。然后<em>f</em><sub><em>n</em></sub>=<em>年代</em><sub><em>n</em></sub>−<em>n</em>(<em>p</em>−<em>问</em>),<em>f</em><sub><em>n</em></sub>= (<em>问</em>/<em>p</em>)<年代up><em>年代</em><em>n</em></sup>是鞅。鞅理论的一个基本的结果是,如果赌徒是免费的退出游戏在任何时候使用任何策略,这种策略并不只提供了<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="foresee" href="//www.rctutku.com/dictionary/foresee" data-type="EB">预见</一个>未来,游戏是公平的。这意味着,如果<em>N</em>表示停止时间赌徒的战略告诉他退出游戏,这是他最后的财富<em>f</em><sub><em>N</em></sub>,然后<年代p一个nclass="md-formula"><span id="ref-14385"></span><img src="https://cdn.britannica.com/85/14385-004-F17F0C02/Equation.jpg" alt="方程。" class="inline-image-baseline"></span></p>  <span class="marker p12"></span>  <span class="marker AM12 am-inline"></span>  <span class="marker MOD12 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">严格地说,这个结果不是真的没有附加条件,必须验证为任何特定的应用。看看它是如何有效地工作,再次考虑的问题赌徒的毁灭,让<em>N</em>是第一个值<em>n</em>这样<em>年代</em><sub><em>n</em></sub>= 0或<em>米</em>;也就是说,<em>N</em>表示随机时间破坏首先发生,游戏结束。在的情况下<em>p</em>= 1/2,应用方程(<一个href="#ref-14385">21</一个>)鞅<em>f</em><sub><em>n</em></sub>=<em>年代</em><sub><em>n</em></sub>,一起观察<em>f</em><sub><em>N</em></sub>= 0或<em>米</em>,<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="yields" href="//www.rctutku.com/dictionary/yields" data-type="EB">收益率</一个>的平等<em>x</em>=<em>f</em><sub>0</年代ub>=<em>E</em>(<em>f</em><sub><em>N</em></sub>|<em>f</em><sub>0</年代ub>=<em>x</em>)=<em>米</em>[1−<em>问</em>(<em>x</em>),可以立即解决给答案在方程(<一个href="#ref-14398">6</一个>)。为<em>p</em>≠1/2,利用鞅<em>f</em><sub><em>n</em></sub>= (<em>问</em>/<em>p</em>)<年代up><em>年代</em><em>n</em></sup>和类似的推理来获得<年代p一个nclass="md-formula"><span id="ref-14364"></span><img src="https://cdn.britannica.com/64/14364-004-C607E795/Equation.jpg" alt="方程。" class="inline-image-baseline"></span>从第一个方程在(<一个href="#ref-14398">6</一个>)容易遵循。游戏的预期持续时间是通过一个类似的论点。</p> <span class="marker p13"></span>  <span class="marker AM13 am-inline"></span>  <span class="marker MOD13 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">一个特别美丽的和重要的结果是鞅收敛<一个href="//www.rctutku.com/topic/theorem" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">定理</一个>,这意味着一个负的鞅收敛概率为1<em>n</em>→∞。这意味着,如果一个赌徒的连续的命运形成一个鞅(非负),他们不能继续<一个class="md-dictionary-link md-dictionary-tt-off eb" data-term="fluctuate" href="//www.rctutku.com/dictionary/fluctuate" data-type="EB">波动</一个>无限期地但必须方法一些限制的价值。</p> <span class="marker p14"></span>  <span class="marker AM14 am-inline"></span>  <span class="marker MOD14 mod-inline"></span> <p class="topic-paragraph">基本鞅理论和它的许多应用程序是由美国数学家约瑟夫·杜布狮子座在1940年代和50年代后由于一些早期的结果<一个href="//www.rctutku.com/biography/Paul-Levy" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">保罗利维</一个>。随后它已成为其中一个最强大的工具来研究<年代p一个n我d="ref407483"></span><a href="//www.rctutku.com/science/stochastic-process" class="md-crosslink" data-show-preview="true">随机过程</一个>。</p> <span class="marker p15"></span>  <span class="marker AM15 am-inline"></span>  <span class="marker MOD15 mod-inline"></span> <span class="md-signature"><a href="//www.rctutku.com/contributor/David-O-Siegmund/3760">大卫·o·Siegmund</一个></年代p一个n></年代ection> </section>  <span class="marker end-of-content"></span>  <span class="marker after-article"></span> </div> </div> </div> </div> <aside class="col-md-da-320"></aside> </div> </div> </div> </div> </article> </div> </div> </div> </div> </main> <div id="md-footer"></div> <noscript> <iframe src="https://www.rctutku.com/ns.html?id=GTM-5W6NC8" height="0" width="0" style="display:none;visibility:hidden"></iframe> </noscript> <div id="bc-fixed-dialogue"></div> </body> </html>