的原则的可加性

最后一个例子说明了一个基本原则，如果事件的概率可以表示为联盟对于其他几个没有共同结果的事件(“最多一个正面”是“没有正面”和“正好一个正面”的并集)，那么并集的概率是组成并集的各个事件的概率之和。为了象征性地描述这种情况，让年代表示样本空间。对于两个事件一个而且B，的交集一个而且B是集所有属于两者的实验结果一个而且B并且表示为一个∩B；的联合一个而且B所有实验结果的集合是否属于一个或B(或两者都有)并表示一个∪B．的不可能event-i.e。，the event containing no outcomes—is denoted by Ø. The probability of an event一个写P（一个)．概率相加的原则是，如果一个₁，一个₂、……一个_n事件是否与一个_我∩一个_j= Ø对于所有的配对我≠j,然后

式(1)与概率的相对频率解释一致;因为,如果一个_我∩一个_j= Ø我≠j的至少一个的相对频率一个_我发生的次数等于个体的相对频率之和一个_我发生。

式(1)是接下来所有事情的基础。的确，在现代公理概率论避开以“等可能结果”为定义的概率是无可救药的循环，是“概率”的扩展形式方程(1)起基本作用(看到一节无限样本空间和公理化概率)．

公式(1)的一个基本的、有用的结果如下。每个事件一个与互补事件一个^c这些实验结果不属于一个．自一个∩一个^c=Ø,一个∪一个^c＝年代,P（年代) = 1(其中年代表示样本空间)，由式(1)可得P（一个^c) = 1−P（一个)．例如，中出现“至少一次正面”的概率n投掷硬币1减去“没有正面”的概率，还是1−1/2ⁿ．

多项概率

这个基本问题首先由雅各布·伯努利就是求得到正数的概率我绘制实验中的红球n时间随机与替换从瓮包含b黑色和r红色的球。随机抽取的意思是，在一次抽取中，每一个r+b球被抽取的可能性是相等的，由于每个球在下一次抽取之前被替换，因此有(r+b) ×⋯× (r+b) = (r+b）ⁿ实验的可能结果。在这些可能的结果中，有利于获得的数我红球和n−我任何一个特定顺序的黑球都是

可能的顺序数我红球和n−我黑球能从瓮中抽出来的是二项式系数在哪里k！＝k×(k−1)×⋯× 2 × 1为正整数k， 0!= 1。因此，所讨论的概率等于有利结果的数量除以可能结果的数量，由二项分布在哪里p＝r/（r+b),问＝b/（r+b) = 1−p．

例如，假设r= 2b而且n= 4。根据式(3)，“正好两个红球”的概率为

在这种情况下可能的结果很容易列举出来:(rrbb)， (rbrb)， (brrb)， (rbbr)， (brbr)， (bbrr)．

(对于方程(2)的推导，请观察，以便准确地画出我红球在n抽的人必须抽我红球在第一球n−1抽和一个黑球上n抽签或抽签我−1个红球n−1取我红色的球在n画。因此,由式(2)可以用感应在n．）

两个相关的例子是(i)从装有r红色和b黑球和(ii)从装有黑球的瓮中取出或不取出年代不同的颜色。如果n球从瓮中取出，不需更换r红色和b黑球，可能结果的数量是其中有利于绘图的数字我红色和n−我黑球是

因此，画的正好的概率我红球在ndraw是比

如果瓮中有球年代不同的颜色比例p₁：p₂:……p_年代,在那里p₁+⋯+p_年代= 1和ifn球都是用置换抽中，获得的概率我₁第一种颜色的球，我₂第二种颜色的球，等等是多项概率

用铅笔和纸求式(3)的难度随着计算的增加而增加n．而相关的评价就更难了累积概率——例如获得“最多”的概率j红球”在n，可表示为式(3)的和我= 0, 1，…，j．在概率论的历史中，在原则上已知的概率的近似计算问题是一个反复出现的主题，下面将更详细地讨论。