的强大数定律

这两个实验之间的数学关系被认为在1909年由法国数学家埃米尔·波莱尔用当时的新思想测度理论给一个准确的数学模型和制定现在所谓的坚强大数定律公平硬币扔。他的结果可以描述如下。让e表示一个数字随机从[0,1],和让X_k(e)是k协调的扩张e以2为底。然后X₁,X₂,…无限独立随机变量序列的值0或1的概率是1/2。此外,[0,1]组成的子集e的序列n⁻¹(X₁(e)+⋯+X_n(e)倾向于1/2n→∞概率1。象征意义:

给定的弱大数定律方程(11)说,对于任何ε> 0,为每一个足够大的价值n,只有一个小的概率观察的偏差X_n=n⁻¹(X₁+⋯+X_n)比ε的1/2;然而,留有余地:这个罕见事件迟早会发生如果继续扔硬币,观察序列足够长的时间。然而,强有力的法律断言甚至一个值的出现X_k为k≥n不同于1/2以上ε是任意小概率的事件n足够大。的证明方程(14)和各种后续推广更加困难比弱大数定律。形容词“强大”和“弱”指的是事实真相的结果如方程(14)暗示的真理相应版本的方程(11),而不是相反。

测度理论

在1909年后的二十年,测度理论用于概率理论的许多具体问题,特别是在美国数学家诺伯特•维纳的治疗(1923)的数学理论布朗运动概率论的,但是那种认为所有问题可以制定的测量通常归因于苏联数学家安德烈·柯尔莫哥洛夫在1933年。

的基本物理量的测量理论基础概率论是样本空间年代只是之前,集所有可能的结果的一个实验,一个杰出的类米的子集年代,称为事件。与有限的情况下年代一般不是每个子集年代是一个事件。类米必须有一定的属性下面描述。每个事件被赋予一个概率,这意味着数学的概率是一个函数P映射米到实数满足某些条件派生的从一个物理思想的概率。

的属性米如下:(i)年代∊米;(2)如果一个∊米,然后一个^c∊米;(3)如果一个₁,一个₂,…∊米,然后一个₁∪一个₂∪⋯∊米。回忆,米是定义的域的概率P,一个人可以解释(我)说P(年代定义),(ii)的话说,如果的概率一个的概率定义,那么“不呢一个“也定义,(iii)说,如果一个人能说每个一系列事件的概率一个_n分别,那么一个能说的至少一个的概率一个_n发生。一个类属性的子集的任何一组(i) -(3)被称为σ-field。从这些属性可以证明。例如,它是一次(i)和(ii)Ø(空集)属于类米。因为任何类的交集集可以表示为补充联盟的的补充集(dm的法律里),它遵循从(2)和(3),如果一个₁,一个₂,…∊米,然后一个₁∩一个₂∩⋯∊米。

给定一组年代和一个σ-field米的子集年代,一个概率测度是一个函数P每组分配一个∊米一个非负实数这有以下两个属性:一个)P(年代)= 1和(b)如果一个₁,一个₂,…∊米和一个_我∩一个_j=Ø所有我≠j,然后P(一个₁∪一个₂∪⋯)=P(一个₁)+P(一个₂)+⋯。属性(b)称为axiom的可列可加性。它显然是出于方程(1)就足够了因为只有有限样本空间有限,许多事件。无限的样本空间中所暗示的,但并不是暗示,方程(1),然而,没有一个人的直觉概念需要接受这个属性的概率。的确,一些数学家概率论发展只有较弱的公理有限可加性,但缺乏有趣的模型,无法满足可数公理相加性导致其几乎普遍接受。

为了更好地感受这种区别,考虑掷的实验有偏见的硬币有概率p的头和问= 1−p反面到正面的首次出现。是一致的想法将是独立的,完全的概率n需要把=问ⁿ⁻¹p,因为第一n−1次必须尾巴,他们必须遵循的。可以想象,这个实验从未terminates-i.e之一。,硬币永远继续出现反面。可数公理的可加性,然而,正面的概率发生在一些有限的价值n=p+问p+问²p+⋯=p/ (1−问)= 1,公式的总和无限几何级数。因此,实验的概率永远= 0。同样,一个可以计算的数量将是奇数的概率,p+问²p+问⁴p+⋯=p/ (1−问²)= 1 / (1 +问)。另一方面,如果只需要有限可加性,它可能定义以下诚然奇怪的概率。样本空间年代所有自然数的集合,σ-field吗米是所有的子集的类年代。如果一个事件一个包含有限的许多元素,P(一个)= 0,如果补的一个包含有限的许多元素,P(一个)= 1。看似的结果无害的公理的选择(表示,鉴于任何集合C的非空的集合存在一个规则从每组选择一个独特的点C),一个可以证明存在许多有限添加剂概率符合这些要求。然而,不能确定什么是奇数的概率,因为这既不是有限的,也不是其补有限,也不能表示为一个有限集不相交的联盟的概率已经定义。

这是一个基本问题,绝不是一个简单的例子,来展示的直观的choosin的概念