随时间变化的Schrödinger方程
在Schrödinger提出他的时间无关方程来描述静止状态的同时，他还提出了一个时间相关方程来描述系统如何从一个状态转变到另一个状态。通过替换能源E在薛定谔方程用一个时间导数算子，他推广了他的波方程的时间变化来确定波函数以及它的空间变异。随时间变化的Schrödinger方程如下<年代pan class="md-formula">
的数量我是平方根−1。Ψ随时间变化t也和位置有关x，y，z．对于一个能量恒定的系统，E， Ψ有表单<年代pan class="md-formula">
exp代表什么指数函数时相关的Schrödinger方程简化为时相关的形式。
a的概率<年代pan id="ref894574">过渡在一个原子之间静止状态其他一些状态可以借助时间相关的Schrödinger方程来计算。例如，原子可能会自发地从一种状态转变为另一种能量更少的状态，发射能量的差是a光子与一个频率由玻尔关系给出。如果电磁辐射应用于一组原子，如果辐射的频率与两个定态之间的能量差相匹配，就可以激发跃迁。在受激跃迁中，原子的能量可能会增加。,原子米ay absorb a photon from the radiation—or the energy of the atom may decrease, with the emission of a photon, which adds to the energy of the radiation. Such<年代pan id="ref611873">受激发射过程形成了运行的基本机制<年代pan id="ref611874">激光．从一种状态转换到另一种状态的概率取决于的值l，米，米年代量子初始和最终状态的数。对于大多数值，转移概率实际上为零。但是，对于某些变化量子数字，概括为选择规则，存在有限的概率。例如，根据一个重要的选择规则,l数值随单位变化，因为光子自旋为1。辐射的选择规则与<年代pan id="ref894567">角动量定态的性质。被吸收或发射的光子有自己的角动量，选择规则反映了原子和辐射之间的角动量守恒。
隧道
经典理论中没有对应的隧穿现象物理，是一个重要的结果的量子力学．考虑一个有能量的粒子E在一维空间的内部区域<年代pan id="ref611876">势阱V（x)，详见<年代pan class="link-blue media-overlay-link asmref" data-href="/media/1/486231/2331">图1．(势阱是指在某一区域具有较低值的势阱空间比邻近地区的要多。)在经典力学中，如果E<V0(势垒的最大高度)，粒子永远留在阱中;如果E>V0，粒子逃逸。在量子力学中，情况并非如此简单。粒子即使释放能量也能逃逸E在屏障的高度以下吗V0，虽然逃脱的可能性很小，除非E接近于V0．在这种情况下，粒子可能会穿过势垒，并以相同的能量出现E．
隧道现象有许多重要的应用。例如，它描述了一种放射性物质<年代pan id="ref611877">衰变其中一个原子核发出一个<年代pan id="ref611878">α粒子(一个氦核)。根据量子解释，由<年代pan id="ref611879">乔治•伽莫夫并通过<年代pan id="ref611880">罗纳德·w·格尼和<年代pan id="ref611881">爱德华·康登在1928年，α粒子在衰变前被一个如图所示的势所限制<年代pan class="link-blue media-overlay-link asmref" data-href="/media/1/486231/2331">图1．对于给定条件核物种，就有可能测量能量E发射的阿尔法粒子和衰变前原子核的平均寿命τ。原子核的寿命是通过势垒穿隧的概率的度量——寿命越短，概率越高。与似是而非的假设关于势函数的一般形式，就有可能计算出τ和之间的关系E这适用于所有alpha发射器。这一被实验证实的理论表明，隧穿的概率，以及τ的值，对的值极其敏感E．对于所有已知的阿尔法粒子发射器，的值E从200万到800万不等电子伏特，或MeV (1 MeV = 10<年代up>6电子伏特)。因此，的价值E仅相差4倍，而τ的范围约为10<年代up>11几年下来到大约10年<年代up>−6其次，是10倍<年代up>24．很难解释τ对的这种敏感性价值的E除了量子力学隧道理论。
