公理集合论
与天真的集合理论,采用一种态度公理集合理论的发展是没有必要知道这个“东西”,被称为“集”或什么关系会员的意思。唯一关心的属性被认为对集和成员关系。因此,在一个公理化理论集,集和会员关系∊未定义的术语。对这些概念被称为采用的假设公理的理论。公理集合定理是公理和语句,可以从公理推导出使用的规则推理由一个系统提供的逻辑。标准公理的选择包括:(1)consistency-it应该不可能得到定理表述和它的否定;(2)plausibility-axioms应该符合直觉信念集;和(3)richness-desirable经典集理论可以作为定理推导出的结果。
的Zermelo-Fraenkel公理
集的第一公理化理论是1908年由德国数学家恩斯特策梅洛。从他的分析的悖论上面描述的部分基数和超限的号码,他得出的结论是,他们与集“太大”,如所有在康托尔集悖论。因此,制定策梅洛的公理是限制只要声称或暗示集的存在。因此,没有明显的方式,在他的系统推导出已知的矛盾。另一方面,古典集合论的结果可以派生的悖论。策梅洛的公理化理论讨论了一种包含修改和改进提出了后来数学家,主要是艾伯特Thoralf Skolem挪威的先驱元逻辑,亚伯拉罕阿道夫Fraenkel,以色列的数学家。在集合理论文献中,它被称为Zermelo-Fraenkel集合理论和缩写ZFC(因为包容的“C”公理的选择)。看到的点击这里查看尺寸表
表Zermelo-Fraenkel公理。
模式生成格式良好的公式
ZFC”axiom的扩展”中传达着这样一个观点,天真的集合理论,确定一组完全由它的成员。应该注意的是,这不仅仅是逻辑上必要的财产的平等,而是一个假设的成员关系。
定义的设置”空集的公理“是空(null)组Ø。
为“分离公理模式”的理解相当大的解释是必需的。策梅洛的原始系统包括假设,如果一个公式年代(x)是“明确”的所有元素集一个,那么存在一组元素的正是这些元素x的一个的年代(x)持有。这是一个限制的原则抽象现在被称为理解的原则,它提供了集存在的相应公式。它限制了这一原则,然而,在两个方面:(1),而不是无条件地断言集的存在,它只可以应用与既存集,和(2)“明确的”可以使用公式。策梅洛的描述只有一个模糊的“定”,但澄清是由Skolem(1922)通过一个精确的定义将被称为ZFC的简单公式。现代逻辑的使用工具,可以定义如下:
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任何变量。x和y,x∊y和x=y在公式(公式称为原子)。
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二世。如果年代和T是公式和x任何变量,以下是一个公式:如果年代,然后T;年代当且仅当T;年代和T;年代或T;不年代;对所有x,年代;对于一些x,T。
递归公式构造(在一个有限的开始系统的步骤)(I)的(原子)公式,并通过结构允许在程序(II)”。(x∊y),“例如,公式(略x∉y),“存在一个x这样,每y,y∉x”是一个公式。一个变量是免费的在公式如果至少发生一次公式而不引入的一些短语之一”x”或“x”。从今以后,一个公式年代在这x是一个自由变量将被称为“条件在x”,象征着年代(x)。为每一个公式”y,x∊y”,例如,是一个条件x。要明白一个公式是一个正式的expression-i.e。,一个术语没有意义。事实上,一个电脑可以通过编程生成原子公式和建立他们的其他公式不断增加复杂性使用逻辑连接词(“不”、“和”,等等)和运营商(“所有”和“一些”)。一个公式获得意义只有一个指定的理论解释;即。,when (1) a nonempty collection (called the domain of the interpretation) is specified as the range of values of the variables (thus the term set is assigned a meaning, viz., an object in the domain), (2) the membership relation is defined for these sets, (3) the logical connectives and operators are interpreted as in everyday language, and (4) the逻辑关系之间的平等是被标识对象的域。
“一个条件x“对于一个公式中x是免费的,仅仅是暗示;相对于一个解释,这样的一个公式实施在一个条件x。因此,“分离公理模式”的直观的解释是:给定一组一个和一个条件x,年代(x),这些元素一个的条件是存在的一组形式。它提供了集通过将现有的某些元素集。调用这个分离公理模式是适当的,因为它实际上是一个模式生成axioms-one对于每一个选择吗年代(x)。