复合集的公理

尽管分离的公理图式具有构造性，但如果要建立Cantorian集合论的某些理想特征，就必须引入从现有集合构造集合的进一步方法。表中的三个公理-配对公理，并集公理,幂集公理-都是这一类的。

通过使用5个公理(2-6)，朴素集论的各种基本概念(例如，并集、交集和笛卡尔积的运算;关于关系，等价关系，排序关系和函数)可以用ZFC定义。进一步地，关于这些概念的标准结果在朴素集理论中可以被证明为ZFC定理。

无限和的公理命令集

如果我是一种解释公理集合论，当“集合”和“∊”被赋予一个意义时，由公理产生的句子，由我，不是真就是假。如果每个公理都成立我,然后我叫做模型理论的。如果模型的域为无限，这一事实并不意味着域的任何对象都是“无限集”。后一种意义上的无限集是一个对象d域的D的我有无数不同的对象d”D这样d”Ed持有(E代表∊解释)。虽然域迄今为止所讨论的公理都是公理的理论的任何模型显然都是无限的，其中每个集合都是有限的模型已经设计出来了。为了充分发展经典集论，包括实数理论和无限基数理论，无限集的存在是必需的;因此，“无穷公理包含。（看到表)。

可以证明存在一个唯一的极小集ω具有无穷公理表示的性质;不同的成员Ø,{Ø},{Ø,{Ø}},{Ø{Ø},{{ØØ }}}, ... .这些元素用0、1、2、3、…表示，称为自然数。理由术语基于这样一个事实皮亚诺假设(意大利数学家1889年发表的五大公理朱塞佩皮亚诺)，可作为算术，可以证明为集合论中的定理。因此，为在ZFC内构建具有所有预期属性的实体铺平了道路实数．

它的起源选择公理(表中公理8)康托的认识到能够对任意集合进行“良好排序”的重要性。，to define an ordering relation for a given set such that each nonempty subset has a least element. The virtue of a well-ordering for a set is that it offers a means of proving that a property holds for each of its elements by a process (transfinite induction) similar to数学归纳法．Zermelo(1904)给出了第一个证明任何集合都是有序的。他的证明采用了一个集合论原理，他称之为“选择公理”，不久之后，这个原理被证明与所谓的“选择公理”是等价的良序定理．

直观地,公理选择断言同时选择任意集合中每个非空成员中的一个元素的可能性;这种担保说明了它的名字。只有当集合有无穷多个成员时，这个假设才有意义。Zermelo是第一个明确陈述这个公理的人，尽管它在之前被使用过，但基本上没有被注意到(另请参阅佐恩引理)．由于其非建设性的性质，它很快成为激烈争论的主题。一些数学家基于这个理由完全否定了它。其他人接受了它，但尽可能避免使用它。当证明了它与良序定理的等价性以及任意两个基数的断言时，一些人改变了对它的看法c而且d是否具有可比性(即，恰好是其中之一c<d，d<c，c＝d持有)。即使在今天，仍有一些数学家认为选择公理的使用是不恰当的，但还有许多其他类似的表述。然而，对绝大多数人来说，它或类似的论断已成为一种不可或缺的常见工具。(由于这一争议，ZFC被采用为首字母缩写有选择公理的多数立场，ZF为没有选择公理的少数立场。)