等效的集

Cantorian集合论是建立在上面描述的可拓和抽象原则之上的。为了描述基于这些原理的一些结果，的概念等价的集合将被定义。这个想法是，如果有可能将第一个集合的成员与第二个集合的成员配对，并且任何一方都没有剩余的成员，那么两个集合是等价的。用集合论的术语来表达这个思想，集合一个定义为等价于集合B(象征一个≡B)当且仅当存在第三个集合，其成员是有序的对，满足以下条件:(1)每对的第一个成员是的元素一个第二个是元素B(2)的每个成员一个的第一个成员和每个成员B恰好作为一对中的第二个成员出现。因此,如果一个而且B是有限的而且一个≡B，然后建立该事实的第三个集合提供了元素的配对或匹配一个和那些B．相反，如果有可能匹配的元素一个和那些B,然后一个≡B，因为可以形成一组满足要求(1)和(2)的对，即。,如果一个∊一个匹配于b∊B，则有序对(一个，b)是集合中的一个成员。通过用匹配的概念来定义集合的等价性，等价性的表述独立于有限性。作为一个例子无限集合ℕ可以用来表示自然数0,1,2，…的集合(有些作者将0从自然数中排除)。{(n，n²) |n∊ℕ}建立了看似矛盾的等价ℕ和由自然数的平方组成的ℕ的子集。

如前所述，一个集合B是包含在，还是a的子集，集合一个(象征B⊆一个的每一个元素B是一个．这样定义，一个子集可能包括的所有元素一个，所以一个可以是自身的子集。此外，空集合，因为根据定义它没有不包含在其他集合中的元素，所以它是每个集合的子集。

如果set中的每个元素B是set的元素吗一个，但匡威为假的(因此B≠一个),然后B据说是恰当地包含在，还是一个的固有子集，一个(象征B⊂一个)．因此,如果一个={3,1,0,4,2}，{0,1,2}和{0,1,2,3,4}都是的子集一个；但是{0,1,2,3,4}不是一个合适的子集。有限集不等价于它的每一个固有子集。然而，对于无限集合则不是这样，如前面示例中的集合ℕ所示。(ℕ的等价性及其由其元素的平方组成的固有子集由伽利略1638年，他得出结论，小于、等于和大于的概念不适用于无限集。)

基数而且无限的数字

等价概念的应用无限集是由康托尔．随着ℕ被定义为自然数的集合，康托尔最初的重要发现是所有自然数的集合有理数等于ℕ但那是所有的集合实数并不等同于ℕ。不等价的存在无限集合证明康托尔引入“超有限”基数作为这类集合大小的度量是正确的。康托定义了任意集合的基数一个作为可以抽象化的概念一个与其他等价集合的总和相加。Gottlob弗雷格在1884年，以及伯特兰·罗素1902年，两位数理逻辑学家定义了基数一组的一个更明确地说，是所有集合的集合等价于一个．因此，这个定义为基数提供了一个位置，作为宇宙的对象，其唯一的成员是集合。

上述定义与以自然数作为基数的用法是一致的。直观地说，基数，无论是有限的(即自然数)还是超有限的(即非有限的)，都是一个集合大小的度量。基数究竟是如何定义的并不重要;重要的是什么当且仅当一个≡B．

为了比较基数，一个订购关系(用<表示)可以通过定义来引入如果一个等价于B而且B等于没有子集一个．显然，这种关系是不自反的和传递:而且暗示．

当应用于用作基数的自然数时，<(小于)关系与ℕ的常见排序关系一致，因此<是该关系的扩展。

符号ℵ₀（aleph-null)是ℕ的基数的标准值(此基数的集合被称为可数的)，以及ℵ(阿莱)有时用于实数的集合。然后n<ℵ₀为每一个n∊ℕ和ℵ₀<ℵ。

然而，这并不是事情的结束。如果幂集一组的一个象征着P（一个的所有子集的集合一个因此，正如康托所证明的那样，对于每一组一个一种关系被称为康托定理．它意味着永无止境层次结构关于超有限基数:．康托证明了并建议在ℵ之间没有基数₀还有ℵ，一个被称为连续统假设．

有一个算术对于基于加法、乘法和幂(平方、立方等)的自然定义的基数，但当涉及超有限基数时，这种算术就偏离了自然数的算术。例如，ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀(因为整数集等价于ℕ)，ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀(因为有序自然数对的集合等价于ℕ)，和c+ℵ₀＝c对于每一个超有限基数c(因为每个无限集都包含一个等价于ℕ的子集)。

所谓的康托悖论是康托自己在1899年发现的。根据不受限制的抽象原理，公式"x“集合”定义了一个集合吗U；也就是说，它是所有集合的集合。现在P（U)是集合的集合，等等P（U的子集U．然而，根据<对于基数的定义，如果一个⊆B，那么情况就不是这样了．因此，通过代换，．但根据康托尔定理，．这是一个矛盾。1901年罗素设计了另一个不那么技术性的矛盾现在被称为罗素悖论．公式"x是一个集合，并且(x∉x)，定义一个集合R不是它们自己的成员。使用证明然而，通过矛盾，很容易证明(1)R∊R．但是根据定义R由此可见(2)(R∉R)．(1)和(2)合起来构成矛盾。