公理化集合论的现状

的基础公理集由于新的发现，理论正处于重大变化的状态。集合论的交替(和冲突)公理系统的情况是类似的到19世纪的革命几何这是由发现非欧几里得的几何图形．很难预测这些20世纪晚期的发现对集合论的最终结果，但它们已经对人们对某些公理的态度产生了深远的影响，并迫使人们实现了对其他公理的持续探索。这些发现将注意力集中在公理的独立性概念上。如果T公理理论和年代句子(即公式)是什么T这不是公理，如果T+年代表示由…产生的理论T在…的连接上年代来T作为进一步的公理年代据说是一致的吗T如果T+年代是一致的还是独立的T无论何时都年代和∼年代的否定年代)与T．因此,如果年代独立于T的加法年代或∼年代来T产生一个一致的理论。限制公理(AR)的作用可以用独立的概念来阐明。如果ZF '表示通过删除AR和保留或删除的ZF获得的理论选择公理(AC)，则可以证明，如果ZF '是一致的，AR是独立于ZF '的。

对于集合论的基础来说，更重要的是AC相对于其他的地位公理ZF。在ZF中的状态连续统假设(CH)及其延伸，即广义连续统假说(GCH)，也是非常重要的。在接下来对这些问题的讨论中，ZF表示不含AC的Zermelo-Fraenkel集合理论库尔特·哥德尔在1939年。他证明了AC和GCH相对于ZF是一致的(即，如果ZF是一致的，那么ZF + AC + GCH也是一致的)，通过表明ZF + AC + GCH内部的矛盾可以转化为ZF中的矛盾。1963年美国数学家保罗•科恩证明:(1)如果ZF是一致的，那么ZF + AC +∼CH也是一致的;(2)如果ZF是一致的，那么ZF +∼AC也是一致的。由于在ZF + AC中可以证明GCH意味着CH, Gödel的定理对于他的证明，Cohen引入了一种构造ZF + AC解释的新方法(称为强迫方法)。强迫方法适用于集合论中的许多问题，自1963年以来，它已被用于对各种高技术性命题给出独立证明。其中一些结果为攻击重要的基础问题开辟了新的途径。

目前不稳定的状态公理集合论可以从对CH独立于ZF + AC的问题的回答中感受到。相信集合论只处理不存在的虚构的人不会关心这个问题。但对于大多数数学家来说集合是存在的;特别是ω和P(ω)存在(分别为自然数集及其幂集)。进一步说，它应该是每一个不可数子集P(ω)要么等于要么不等于P(ω);即CH要么为真，要么为假。这种信仰的追随者认为集合论的公理描述了一些定义明确的现实——其中CH必须是真或假。因此，这是不可避免的结论目前的公理并没有提供对现实的完整描述。对新公理的探索正在进行中。希望证明CH为定理的人必须寻找限制集合数量的公理。然而，如果不改变集合的直观概念，这种限制似乎没有什么希望。因此，预期倾向于CH将被推翻的观点。这个反证需要一个公理来保证更多集合的存在。到目前为止，已经提出的以这个方向为目标的公理(称为“广义无穷大公理”)都不能证明∼CH。尽管几乎没有支持性的证据，乐观主义者希望这种状况能得到改善连续体假设最终会得到解决。