超限归纳和序数的图式算术
当泽梅洛的公理1-8被发现不足以全面发展超有限时感应在序数算术中，Fraenkel和Skolem分别提出了一个额外的公理图式来消除这一困难。由匈牙利裔美国数学家修正约翰·冯·诺依曼，它直观地说，如果与a的每个元素集只有一个相关的集合，那么相关集合的集合本身就是一个集合;也就是说，它提供了一种“收集”现有集合以形成集合的方法。举例来说，ω的每一个，P(ω),P（P(ω))，…，由递归取幂集(前一个集合的所有子集构成的集合)形成，是理论中基于Zermelo原始八公理的集合。但是，似乎没有办法建立一个集合的存在，所有这些集合都是它的成员。但是，“替换图式公理”(表中的公理9)规定了它的存在。
直观地说，替换的公理模式是这样的断言，如果域的函数是一个集合，那么它的值域也是。这是一个强大的图式(关于进一步的推论它所产生的)是由这样一个事实所表明的，即分离的公理图式可以从它推导出来，并且当与幂集公理结合应用时，可以推导出配对的公理。
置换的公理图式在理论的发展中发挥了重要的作用序数词。基数用于指定集合的大小，与基数相反，序数用于确定指定的有序序列中的位置。根据冯·诺依曼的设想，如果一个是一套，继任者一个”一个集合是通过毗邻得到的吗一个到元素一个（一个' =一个∪{一个})。根据这个概念，上面定义的自然数是简单的连续0,0 '，0″，0‴，…;也就是说，自然数是由Ø和迭代质数运算的次数是有限的。自然数由∊有序关系他们这样吩咐构成有限序数。公理∞保证自然数集合的存在性，ω是集合的第一位无限序数。通过从ω开始迭代质数运算，可以获得更大的序数。替换公理模式的一个实例断言ω， ω '， ω″，…形成一个集合。这个集合和ω的并集是更大的序数，用ω2表示(采用序数算术的符号)。从ω2开始重复这个过程，得到序数(ω2) '， (ω2)″，…;在所有这些形式之后的是ω3。这样就生成了序数ω， ω2， ω3，…然后，替换公理模式的应用会产生一个序数，该序数跟在所有这些后面，就像ω跟在the后面一样有限的顺序;在序数算术的符号中，它是ω2．在这点上迭代过程可以重复。总之，置换公理图式和其他公理使计数过程的扩展成为可能，远远超出了人们所选择的自然数。
在ZFC系统中，基数被定义为某些序数。从良序定理(选择公理的一个结果)，那么每一组一个等于某个序数。同样，序数的总和相当于一个可以显示形成一个集合。那么一个自然的基数选择一个最小的是哪个序数一个是等价的。这就是将基数定义为不等同于任何更小序数的序数的动机。基数算术和序数算术都得到了充分的发展。有限基数和序数的算术与自然数的算术是一致的。对于无穷大的基数，运算是无趣的，因为选择公理，两个这样的基数的和和都等于这两个基数的最大值。相比之下，无穷序数的算术是有趣的，并呈现出各种各样的奇怪之处。
除了已经提到的选择ZFC公理的准则之外，一些集合理论家还考虑了另一个准则。为了数学基础研究，一般认为数学是一致的;否则，任何基础都会失败。因此，我们可以推论，如果数学家对集合的直观用法给出了精确的说明，就会得到一个充分而正确的基础。传统上，数学家处理整数,实数，以及功能．因此，一个直观的这些实体出现的集合的层次结构应该是ZFC的模型。有可能构造这样一个层次结构通过以下方式迭代形成幂集和并集的操作，显式地从空集中获得。
层次结构的底部由集合组成一个0=Ø,一个1、……一个n，…，其中每个一个n+ 1是前者的幂集吗一个n．然后就可以组成联盟了一个ω到目前为止所构造的所有集合。这可以像以前一样迭代功率集操作:一个ω”是幂的集合吗一个ω等等。这种构造可以扩展到任意高的超有限层次。没有最高的层次;在每一层，可以取到目前为止所构造的并集，并将幂集操作应用于元素。一般来说，对于每个序数α 1，可以得到一个集合一个α，其中的每个成员都是某个的子集一个β这在层级上是较低的。以这种方式获得的层次结构称为迭代层次结构。ZFC直观模型的域被认为是迭代层次结构中所有集合的并集。换句话说，如果一个集合是某个集合的元素，那么它就在模型中一个α迭代层次的。
消除无限降种的公理
从假设来看，这套集合论体系是充分的全面的对于数学来说，它是被ZFC公理“捕获”的模型，可能会有人认为，表中公理1到9的模型与这个系统有很大的不同，应该被排除在外。这种模型的发现导致了冯·诺依曼的公理10的提法限制公理，或基础公理。
这个公理从前九个公理的模型中消除了那些存在无限下行∊-chains(即序列)的公理x1，x2，x3.，如此……x2∊x1，x3.∊x2，…)，这一现象在基于迭代的模型中没有出现层次结构上面所描述的。(具有这种链的模型是由俄罗斯数学家德米特里·米里马诺夫(Dimitry Mirimanoff)在1917年发现的。)它还有其他吸引人的结果;例如，序数概念的一个更简单的定义是可能的。然而，数学家们对于是否有足够的理由把它作为一个附加公理还没有达成一致意见。一方面，这个公理(在只允许集合的理论中)等价于这样的陈述:每个集合都出现在上面非正式描述的迭代层次结构中——没有其他集合。所以它提出了这样一种观点这就是所有集合的宇宙的真实样子。另一方面，没有必要排除可能位于层次结构之外的集合——这个公理还没有被证明有任何数学应用。