特殊函数

特殊函数,任何一类的数学功能解决方案中出现的各种经典的问题物理。这些问题通常涉及电磁流,声学,或热能。不同的科学家可能不完全同意函数将被列入特殊函数,虽然肯定会有很大量的重叠。

乍一看,上面提到的身体问题似乎非常有限的范围。然而,从数学的角度来看,必须寻求不同表示形式,这取决于配置的物理系统需要解决的这些问题。例如,在学习传播热的金属杆,可以考虑一个酒吧和一个矩形横截面一个圆形截面,椭圆截面,甚至更为复杂的横截面;酒吧可能直或弯曲。每一个这些情况下,在处理相同类型的物理问题,导致不同的数学方程。

要解决的方程偏微分方程。理解这些方程怎么发生的,可以考虑直接杆均匀流的热量。让u(x,t)表示杆时的温度t和位置x,让问(x,t)表示的速度热流。∂的表达式问/∂x表示的速率热流率单位长度的变化,因此测量速率热量积累在一个给定的点x在时间t。如果热量积累,温度上升,和用∂率u/∂t。的原则能量守恒导致∂问/∂x=k(∂u/∂t),k是比热杆。这意味着热量的速率积累点的速度温度成正比增加。第二个关系问和u从牛顿冷却定律,哪个州问=K(∂u/∂x)。后者是一个数学的断言的陡峭温度梯度的变化率(温度单位长度),热流率越高。消除问这些方程会导致∂之间²u/∂x²= (k/K)(∂u/∂t),偏微分方程对于一维热流。

热流的偏微分方程在三维空间中采用∂的形式²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²= (k/K)(∂u/∂t);后者经常方程∇写的²u= (k/K)(∂u/∂t),∇象征,叫做del或微分算符,称为拉普拉斯算子。∇也进入偏微分方程处理电磁波传递问题,∇形式²u= (1 /c²)(∂²u/∂t²),c波的速度吗传播。

偏微分方程比普通微分方程很难解决,但相关的偏微分方程波传播和可以减少热流通过过程称为常微分方程组分离变量。这些常微分方程依赖的选择坐标系统,进而影响的物理配置问题。这些常微分方程的解决方案形成了大多数的特殊功能数学物理。

例如,在解决热流方程和波传播在圆柱坐标系中,变量分离导致的方法贝塞尔微分方程的解决方案的贝塞尔函数,表示通过J_n(x)。

在许多其他特殊功能,满足二阶微分方程球面谐波(勒让德多项式的一个特例),Tchebychev多项式,埃尔米特多项式,雅可比多项式,拉盖尔多项式,惠塔克函数和抛物柱面功能。与贝塞尔函数一样,可以研究他们无穷级数递归公式,生成函数、渐近级数积分表示,和其他属性。尝试了统一这丰富的话题,但没有一个已经完全成功。尽管这些函数之间的许多相似之处,每个人都有一些独特的属性必须单独研究。但是一些关系可以通过引入另一个特殊功能,开发超几何函数,它满足的微分方程z(1−z)d²y/dx²+ (c−(一个+b+ 1)z]dy/dx−一个by= 0。的一些特殊函数可以表示的超几何函数。

虽然是正确的,历史上和实际上的特殊功能及其应用主要出现在数学物理,他们有许多其他的纯粹与应用使用数学。贝塞尔函数是非常有用的在解决某些类型的随机漫步的问题。他们还发现应用程序的理论数据。构建所谓的超几何函数非常有用保角映射多边形区域的边是圆弧。