张量分析gydF4y2Ba

张量分析gydF4y2Ba的分支gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba关心关系或法律仍然有效的系统无关gydF4y2Ba坐标gydF4y2Ba用于指定数量。这种关系被称为协变。张量是作为一个发明gydF4y2Ba扩展gydF4y2Ba的gydF4y2Ba向量gydF4y2Ba形式化操作引起的几何实体的数学研究gydF4y2Ba集合管gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba向量gydF4y2Ba是一个实体,具有大小和方向;能被描绘的是一幅画的箭头,和它结合类似实体根据平行四边形法则。因为法律,一个向量组件不同的每个坐标系统。当改变坐标系统,矢量的分量变化根据数学定律转换可推论的平行四边形法则。本法的转换组件有两个重要的属性。首先,经过一系列的变化,在原始的坐标系统,矢量的分量将会开始时一样。第二,之间的关系gydF4y2Ba向量gydF4y2Ba——例如,三个向量gydF4y2BaUgydF4y2Ba,gydF4y2BaVgydF4y2Ba,gydF4y2BaWgydF4y2Ba这样2gydF4y2BaUgydF4y2Ba+ 5gydF4y2BaVgydF4y2Ba= 4gydF4y2BaWgydF4y2Ba——存在于组件无论坐标系统。gydF4y2Ba

一个向量因此可能被视为一个实体,gydF4y2BangydF4y2Ba维空间,gydF4y2BangydF4y2Ba变换组件根据特定的转换在上述法律属性。向量本身是客观实体的独立坐标,但它是治疗方面的平等与所有坐标系统组件。gydF4y2Ba

没有坚持一个图形图像,一个张量的定义是客观实体根据转换组件,改变法律,法律是一个泛化的矢量变换,但保留了两个关键属性的法律。为了方便起见,坐标通常编号从1到gydF4y2BangydF4y2Ba,每个组件一个张量用一个字母上标和下标,每个独立的值1gydF4y2BangydF4y2Ba。因此,一个张量所代表的组件gydF4y2BaTgydF4y2Ba^{一个gydF4y2BabgydF4y2Ba}_cgydF4y2Ba会gydF4y2BangydF4y2Ba^3gydF4y2Ba组件的值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba,gydF4y2BacgydF4y2Ba运行从1到gydF4y2BangydF4y2Ba。标量和向量gydF4y2Ba构成gydF4y2Ba张量的特殊情况,前者拥有每个坐标系统只有一个组件,后者拥有gydF4y2BangydF4y2Ba。任何张量组件之间的线性关系,例如gydF4y2Ba7gydF4y2BaRgydF4y2Ba^{一个gydF4y2Ba}_{bgydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba}+ 2gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^{一个gydF4y2Ba}_{bgydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba}−3gydF4y2BaTgydF4y2Ba^{一个gydF4y2Ba}_{bgydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba}= 0,gydF4y2Ba如果在一个坐标系统有效,有效,因此代表了一种关系,是客观和独立坐标系统尽管缺乏一个图示。gydF4y2Ba

两个张量,称为gydF4y2Ba有韵律的张量gydF4y2Ba和gydF4y2Ba曲率张量,特别感兴趣。有韵律的张量,例如,在向量组件转换成向量的大小。为简单起见,考虑二维的情况简单的垂直坐标。让向量gydF4y2BaVgydF4y2Ba有组件gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba。然后由gydF4y2Ba勾股定理gydF4y2Ba应用于直角三角形gydF4y2BaOgydF4y2Ba一个gydF4y2BaPgydF4y2Ba的gydF4y2Ba广场gydF4y2Ba级的gydF4y2BaVgydF4y2Ba是由gydF4y2BaOgydF4y2BaPgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba= (gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ (gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

隐藏在这个方程的张量。这里是隐藏的,因为它包含0和1的不写。如果方程改写形式gydF4y2BaOgydF4y2BaPgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba= 1 (gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ 0gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba+ 0gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba+ 1 (gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba的全套组件(1 0 0,1)韵律的张量是明显。如果使用斜坐标的公式gydF4y2BaOgydF4y2BaPgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba更一般的形式gydF4y2BaOgydF4y2BaPgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba_11gydF4y2Ba(gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+gydF4y2BaggydF4y2Ba_12gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba+gydF4y2BaggydF4y2Ba_21gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2BaVgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba+gydF4y2BaggydF4y2Ba_22gydF4y2Ba(gydF4y2BaVgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba的数量gydF4y2BaggydF4y2Ba_11gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba_12gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba_21gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba_22gydF4y2Ba有韵律的张量的新组件。gydF4y2Ba

韵律的张量可以构建一个复杂的张量,称为gydF4y2Ba曲率gydF4y2Ba张量表示的各个方面gydF4y2Ba内在gydF4y2Ba曲率的gydF4y2BangydF4y2Ba维它所属的空间。gydF4y2Ba

张量有许多应用gydF4y2Ba几何gydF4y2Ba和gydF4y2Ba物理gydF4y2Ba。在创建他的一般理论gydF4y2Ba相对论gydF4y2Ba,gydF4y2Ba阿尔伯特·爱因斯坦gydF4y2Ba认为物理定律无论如何必须相同坐标系统。这使他表达这些法律的张量方程。已经从他的gydF4y2Ba特殊的理论gydF4y2Ba时间和空间的相对性是如此密切相关,构成一个不可分割的四维gydF4y2Ba时空gydF4y2Ba。爱因斯坦假定gydF4y2Ba万有引力gydF4y2Ba应该代表完全的四维时空的韵律张量。表达相对论引力定律,他作为构建块形成的韵律张量和曲率张量。一旦他决定把自己禁锢在这些构建块,他们缺乏使他本质上是独特的张量方程引力定律,万有引力的出现不是一种力,而是gydF4y2Ba表现gydF4y2Ba时空的曲率。gydF4y2Ba

而张量研究前,这是爱因斯坦的成功gydF4y2Ba广义相对论gydF4y2Ba产生当前的数学家和物理学家们广泛关注在张量和他们的应用程序。gydF4y2Ba