拓扑结构
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拓扑结构，分支数学这种方法有时被称为“橡胶板几何”，在这种方法中，如果两个物体可以连续，那么它们就被认为是等效的变形的:通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动而相互变形的，同时不允许撕裂或粘在一起的部分拓扑学中感兴趣的主要主题是这些属性保持不变连续变形。拓扑，虽然类似几何它与几何的不同之处在于，几何上等价的物体通常共享数值测量的量，如长度或角度，而拓扑上等价的物体在更定性的意义上彼此相似。
处理抽象对象的拓扑学领域被称为一般拓扑学或点集拓扑学。一般拓扑学与拓扑学的另一个重要领域重叠代数拓扑．这些专业领域形成了拓扑学在其相对现代的历史中发展起来的两个主要子学科。
基本概念一般的拓扑
单连通
在某些情况下，拓扑学中考虑的对象是驻留在三维(或更低)空间中的普通对象。例如，平面上的一个简单的环和平面上的一个正方形的边界在拓扑上是等价的，可以将环想象成一个橡皮筋，可以拉伸以紧紧地围绕正方形。另一方面，表面的球在拓扑上是不是等价于一个环面，一个实心甜甜圈的表面环．要看到这一点，请注意，任何位于固定球体上的小循环，在保持在球体上时，都可以不断缩小到任意小的直径。具有这种性质的物体被称为单连通的，而单连通的性质确实是在连续变形下保留的性质。但是，环面上的某些循环不能收缩，如．
拓扑的许多结果涉及到如上所述的简单对象。然而，拓扑学作为数学分支的重要性，源于它对包含在高维空间中的对象，甚至抽象对象的更普遍的考虑，这些对象是具有非常普遍性质的元素的集合。来促进这种概括，拓扑等价的概念必须澄清。
拓扑等价
与从一个物体到另一个物体的连续变形有关的运动发生在上下文一些周围空间的变形，称为周围空间的变形。当一个物体在一个特定的环境空间中连续变形到另一个物体时，这两个物体就被称为相对于该空间的同位素。例如，考虑一个由元素组成的对象圆和圆内的一个孤立点。设第二个物体由一个圆和圆外的一个孤立点组成，但与圆在同一平面上。在二维空间中环境在空间中，这两个物体不能连续地相互变形，因为需要把圆切开，才能让孤立的点通过。然而，如果三维空间作为环境空间，则可以进行连续变形——只需将孤立点从平面中抬起，并将其重新插入圆的另一侧即可完成任务。因此，这两个物体在三维空间中是同位素，但在二维空间中不是。
相对于更大的环境空间，物体是同位素的概念提供了外部拓扑等价的定义，在这种意义上，物体嵌入的空间起着作用。上面的例子激发了一些有趣和有趣的东西扩展．人们可能会想象一颗被困在球形壳里的鹅卵石。在三维空间中，如果不在贝壳上开一个洞，就不能移走鹅卵石，而是在贝壳上加一个抽象第四维度不需要任何手术就可以切除。类似地，一圈闭合的绳子被系成三叶形，或上手，结（看到)在三维空间中可以在抽象中解开四维空间．