拓扑结构gydF4y2Ba
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代数拓扑gydF4y2Ba

将代数对象或结构与拓扑空间联系起来的想法在拓扑学的历史上很早就出现了。这方面的基本动机是寻找与不同结构相关的拓扑不变量。最简单的例子是gydF4y2Ba欧拉示性数gydF4y2Ba，这是一个与a相关的数字gydF4y2Ba表面gydF4y2Ba．1750年，瑞士数学家gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba证明了多面体公式gydF4y2BaVgydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2BaEgydF4y2Ba+gydF4y2BaFgydF4y2Ba= 2，或欧拉特征，它与数字有关gydF4y2BaVgydF4y2Ba而且gydF4y2BaEgydF4y2Ba的曲面划分网络的顶点和边gydF4y2Ba多面体gydF4y2Ba(在拓扑学上等价于球体)进入gydF4y2BaFgydF4y2Ba单连通面。这个简单的公式一旦推广到，就得到了许多拓扑结果gydF4y2Ba类似的gydF4y2BaEuler-Poincaré特征χ =gydF4y2BaVgydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2BaEgydF4y2Ba+gydF4y2BaFgydF4y2Ba= 2 - 2gydF4y2BaggydF4y2Ba对于类似网络表面的一个gydF4y2BaggydF4y2Ba进洞的环面。两个同胚曲面将具有相同的Euler-Poincaré特征，因此具有不同Euler-Poincaré特征的两个曲面在拓扑上不可能等价。然而，代数拓扑中使用的主要代数对象更为复杂，包括抽象等结构gydF4y2Ba组gydF4y2Ba，gydF4y2Ba向量空间gydF4y2Ba，以及组的序列。此外，代数拓扑学的语言已被广泛应用gydF4y2Ba增强gydF4y2Ba通过介绍gydF4y2Ba范畴论gydF4y2Ba，其中非常一般的映射将拓扑空间和它们之间的连续函数转换为相关联的代数对象及其自然映射，称为gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

基本组gydF4y2Ba

一个非常基本的代数结构叫做基gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba的gydF4y2Ba拓扑空间gydF4y2Ba是这位法国数学家研究的代数概念之一吗gydF4y2Ba亨利。庞加莱gydF4y2Ba在19世纪晚期。该组本质上由空间中的曲线组成，这些曲线由以几何方式产生的操作组合而成。而这个群在代数拓扑学的早期就被很好地理解了gydF4y2Ba紧凑的gydF4y2Ba二维曲面，一些与之相关的问题仍未得到解答，特别是某些紧凑gydF4y2Ba集合管gydF4y2Ba，它将曲面推广到更高的平面gydF4y2Ba维gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

这些问题中最有名的是gydF4y2Ba庞加莱猜想gydF4y2Ba，问是否紧凑的三维gydF4y2Ba廖gydF4y2Ba与平凡基群必然同胚于三维空间gydF4y2Ba球gydF4y2Ba(gydF4y2Ba集gydF4y2Ba的点gydF4y2Ba四维空间gydF4y2Ba它们与原点的距离相等)，这在二维情况下是成立的。自从1904年Poincaré提出这个猜想以来，代数拓扑学的许多研究都在某种程度上与这个猜想有关。其中一项研究工作涉及美国数学家在20世纪70年代提出的关于三维流形几何化的猜想gydF4y2Ba威廉·瑟斯顿gydF4y2Ba．gydF4y2Ba瑟斯顿的猜想gydF4y2Ba暗示Poincaré猜想，并承认他的工作，以证明这些gydF4y2Ba猜想gydF4y2Ba——俄国数学家gydF4y2Ba格里戈里·佩雷尔曼gydF4y2Ba被授予gydF4y2Ba菲尔兹奖gydF4y2Ba在2006年国际数学家大会上。gydF4y2Ba

基本族是我们所说的第一类gydF4y2Ba同伦gydF4y2Ba拓扑空间的群。这些群，还有另一类群叫做gydF4y2Ba同源性gydF4y2Ba群在所谓同伦缩回的映射下实际上是不变的，包括同胚。同伦理论和同调理论是代数拓扑学的众多专业领域之一。gydF4y2Ba

yabo亚博网站首页手机大英百科全书测验gydF4y2Ba
关于数学小测验gydF4y2Ba

微分拓扑gydF4y2Ba

许多代数拓扑学工具都很适合研究流形。在微分拓扑学领域中，涉及可微性意义上的“平滑性”的附加结构(gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba解析:导数的形式化定义gydF4y2Ba),是gydF4y2Ba实施gydF4y2Ba集合管。因为拓扑学的早期研究是由gydF4y2Ba分析gydF4y2Ba，代数拓扑学最初的许多思想都涉及到平滑性的概念。微分拓扑和的结果gydF4y2Ba几何gydF4y2Ba在现代物理学中得到了应用。gydF4y2Ba

纽结理论gydF4y2Ba

数学上的结结的特点是绳结自身交叉的次数和方式。一个基本的环，没有交叉，只形成一个独特的“结”，是结理论中最简单的结。不同结点的数量随着交叉次数的增加而大大增加;这里只显示了七次或更少的交叉。gydF4y2Ba

代数拓扑学的另一个分支涉及到三维流形的研究gydF4y2Ba纽结理论gydF4y2Ba，研究如何打结副本的一种方法gydF4y2Ba圆gydF4y2Ba可以嵌入三维空间。结理论可以追溯到19世纪末，在20世纪的最后20年里，当它在物理学、化学和生物医学工程中的潜在应用被认识到时，它得到了越来越多的关注。gydF4y2Ba