拓扑的历史

数学家副拓扑的出现作为一个独特的领域数学1895年出版的拓扑学由法国人亨利。庞加莱,尽管许多拓扑思想找到了进入数学在过去的一个半世纪。拉丁短语拓扑学位置可能会翻译成“分析”,类似于这句话吗geometria部位”,意思是“几何位置,使用1735年由瑞士数学家欧拉描述他的解决方案哥尼斯堡桥问题。欧拉在这个问题上也是工作引用的开始图论,研究网络连接的顶点的边缘,这与拓扑分享了很多想法。

在19世纪两个截然不同的动作发展,并最终产生的兄弟姐妹专门化代数拓扑和一般的拓扑。第一个特点是试图理解surfacelike对象的拓扑方面出现的通过结合基本形状,如多边形或多面体。一个早期的因素组合拓扑中,这个问题最终被称为,是德国数学家约翰·清单发表Vorstudien苏珥Topologie(1847);“介绍性研究拓扑”),它通常被视为第一个打印出现的术语拓扑结构。1851年,德国数学家Bernhard黎曼考虑相关的表面复数理论,因此,利用组合拓扑作为分析工具的功能。德国的几何学家8月莫比乌斯和菲利克斯•克莱因发表的作品“一边倒”的表面在1858年和1882年,分别。莫比乌斯的例子,现在被称为莫比乌斯带,可能是由粘合在一起的长矩形条纸被扭曲的一半。表面含有同胚的莫比乌斯带的子集被称为nonorientable表面和发挥重要作用的分类二维表面。克莱恩提供片面的一个例子表面这是封闭的,没有任何一维的界限。这个例子中,现在被称为克莱因瓶,不能存在于三维空间不相交的本身,因此,是数学家感兴趣的课题曾考虑过只在三维空间表面。

通过许多数学家,包括上面提到的四个,之前的1895年出版拓扑学,庞加莱建立了基础上下文使用组合拓扑代数思想。组合拓扑继续发展,特别是德裔美国数学家马克斯•德恩和丹麦数学家保罗•Heegaard共同提出的第一个分类定理二维表面在1907年。不久之后将代数结构与拓扑对象的重要性显然了,例如,荷兰数学家L.E.J.这和他的不动点定理。虽然这句话代数拓扑首次使用在1936年晚些时候,这位美国数学家所罗门Lefschetz,在这个专业领域的研究的拓扑进行更早在20世纪。

同时与组合拓扑的早期发展,19世纪的分析师,比如法国数学家奥古斯汀柯西和德国数学家卡尔·维尔斯特拉斯,研究了傅里叶级数中,序列的功能融合到其他功能在某种意义上类似于空间序列的收敛点。从另一个角度来看,德国等数学家Georg康托尔和法国埃米尔·波莱尔研究了傅里叶级数和之间的关系集理论。两个倡议来自这些努力:建立一个严格的数学设置的主要问题分析并提供一个通用设置数学思想与序列的收敛性。1899年,德国数学家大卫希尔伯特提出了一个公理设置通用几何超越了古希腊人所考虑。1905年,法国数学家莫里斯邻提出了一个一致的方案收敛在一个抽象的公理和也为一个公理度量空间,这是一组提供一段距离函数(或“规”)。1910年希尔伯特提出公理社区抽象的点集,从而推广小磁盘的属性集中在点在平面上。最后,德国数学家菲利克斯•豪斯多夫在他的Grundzuge der Mengenlehre(1914);“元素集理论”)提出了基本的公理化指标之间的关系,限制,和邻居的方法对于一般空间(看到豪斯多夫空间)。尽管直到1925年,俄罗斯数学家帕维尔Alexandrov介绍了现代公理对一个抽象的拓扑,领域的通用拓扑出生在分离的工作。

1960年代期间,研究领域的通用拓扑繁荣和许多重要问题解决。的概念维和它的意义对于一般拓扑空间令人满意地解决了引入归纳理论维度。密实度,一个属性,概括了关闭和有限的子集n维空间欧氏空间成功扩展到拓扑空间通过一个定义涉及“覆盖”空间的开集的集合,和许多问题涉及密实度是解决了在此期间。度量化问题,寻求的拓扑描述空间的拓扑结构诱导指标,是定居在大量工作的概念它们,一个属性,概括了密实度。

自1960年代以来,研究一般拓扑搬进了新领域,涉及到复杂的数学工具,包括集论的方法。在1960年代末研究者致力于推广一些无限维空间的拓扑性质希尔伯特空间。这些努力预示着一个新的拓扑领域现在称为无限维的拓扑。现代感兴趣的另一个主要领域是集论的拓扑,拓扑空间之间的联系和观念从集合论和逻辑进行了研究。这个地区的一些问题涉及到拓扑和独立的命题然而,符合通常假定公理集合论(看到的点击这里查看尺寸表表)。得到的参数,称为迫使理论,取得了临时的一些主要长期拓扑推测。