同胚

一个内在拓扑等价性的定义(独立于任何较大的环境空间)涉及一种特殊类型的函数被称为同胚．一个函数h是同胚，还是客体X而且Y是同胚的，当且仅当函数满足下列条件。

(1）h元素之间是否一一对应X而且Y；
（2）h是连续的:附近点的X映射到附近的点Y遥远的地方X映射到的远点Y换句话说，“社区”得以保留;
(3)存在连续逆函数 h ⁻¹:因此,h ⁻¹ h（x) =x对所有x∊X而且h h ⁻¹（y) =y对所有y∊Y换句话说，存在一个函数“撤销”(是逆的同胚性，因此对于任何x在X或任何y在Y可以通过将两个函数按适当的顺序组合来恢复原始值。

两个对象同胚的概念提供了内在拓扑等价的定义，是拓扑等价的普遍接受的意义。在某些环境空间中是同位素的两个物体也必须是同胚的。因此，外部拓扑等价意味着内在拓扑等价。

拓扑结构

在最一般的情况下，拓扑学涉及到抽象元素集合的对象。讨论属性等连续性对于这些抽象集合之间的函数，必须有一些附加的结构实施在他们身上。

拓扑空间

拓扑学中最基本的结构概念之一是转动集合X通过指定子集的集合进入拓扑空间T的X．这样的集合必须满足三个公理:(1)集合X本身和空集都是T，(2)任意有限个集合的交集T是在T，和(3)中的集合的并集T是在T．开始T被称为打开设置而且T被称为拓扑X．例如，实数行当其拓扑结构被指定为所有可能的开放区间并集的集合时，即成为拓扑空间，例如(−5,2)，(1/2，π)， (0，的平方根√2),…(一个类似的进程在对象上生成拓扑度量空间)。集合上拓扑的其他例子纯粹是用集理论．例如，集合中所有子集的集合X叫做离散拓扑X，和仅由空集和组成的集合X本身在上形成不连续的或平凡的拓扑结构X．一个给定的拓扑空间可以产生其他相关的拓扑空间。例如，一个子集一个拓扑空间的X继承的拓扑(称为相对拓扑)X当开套时一个的交点一个用开放式的X．各种各样的拓扑空间提供了丰富的例子来激发一般定理，以及反例来证明错误的猜想。此外，拓扑空间公理的通用性使数学家能够观察多种类型的数学结构，如空间中函数的集合分析作为拓扑空间，从而以新的方式解释相关现象。

拓扑空间也可以定义为替代一系列的公理闭集，它是开集的补。在拓扑学思想的早期考虑，特别是在对象方面n维空间欧氏空间的收敛性研究中自然出现了闭集无限序列(看到无穷级数)．为了建立对一类重要拓扑空间成立而不是对所有拓扑空间成立的结果，对拓扑结构假设额外的公理通常是方便或有用的。一个这样的公理要求两个不同的点应该属于不相交的开集。满足这个公理的拓扑空间被称为A豪斯多夫空间．

连续性

连续函数a的拓扑概念a函数f从拓扑空间X到拓扑空间Y在p∊X处是连续的，如果对于f(p)的任意邻域V，存在p的邻域U使得f(U)⊆V。

一般拓扑空间的一个重要属性是易于定义连续性的功能。一个函数f映射拓扑空间X进入一个拓扑空间Y定义为连续的，如果，对于每个开集V的Y，的子集X由所有点组成p的f（p)属于V是开套的吗X．此定义的另一个版本更容易可视化，如数字．一个函数f从拓扑空间X到一个拓扑空间Y是连续的p∊X如果，对于任何邻居V的f（p)，有一个社区U的p这样f（U)⊆V．这些定义提供了重要的常规概括概念在分析中研究的连续性，也允许将同胚的概念直接推广到一般拓扑空间的情况。因此，对于一般拓扑空间，不变的性质是由同胚保留的。