印度和伊斯兰世界

对三角学的下一个重要贡献来自印度。在六进制中，乘或除120(60的两倍)为十进制类似的在十进制中乘20或除20(两个10)。因此,重写托勒密的公式为^c/₁₂₀=罪B,在那里B＝^一个/₂时，该关系将半和弦表示为a函数弧度的B与之相对的是现代正弦函数。sin的第一个表在Aryabhatiya．它的作者,阿雅巴我（c。475-550)，使用了这个词ardha-jya为了半和弦，他有时会转过头来jya-ardha(“chord-half”);在适当的时候，他把它缩短为哈哈或魂．后来，当穆斯林学者将这部著作翻译成阿拉伯语时，他们保留了这个词魂没有翻译它的意思。在闪米特语单词主要由辅音，缺失元音的发音被普遍理解。因此魂也可以发音为jiba或jaib最后一个单词在阿拉伯语中的意思是“折叠”或“海湾”。当阿拉伯语译本后来被翻译成拉丁语时，jaib成为窦“海湾”是拉丁语的意思。这个词窦第一次出现在克雷莫纳的盖拉多的作品中(c。1114-87)，他翻译了许多希腊文本，包括《圣经》天文学大成，译成拉丁文。其他作家紧随其后，很快这个词就出现了窦,或正弦，在整个欧洲的数学文献中使用。缩写符号罪在1624年首次使用埃德蒙·冈特他是英国牧师和乐器制造商。其余五个三角函数的表示法随后很快介绍。

在中世纪当欧洲陷入黑暗的时候，学习的火炬仍在燃烧阿拉伯而且犹太人居住在西班牙，美索不达米亚和波斯的学者。第一张表格切线共切线是860年左右由Ḥabash al-Ḥāsib(“计算器”)构造的，他写了关于天文学和天文仪器的文章。另一位阿拉伯天文学家，al-Bāttā倪（c。858-929)，给出了一个用长度来计算太阳高于地平线的仰角θ的规则年代由垂直的高度指针投下的阴影h．(要了解更多关于时针和计时的知识，看到日晷)。Al-Bāttāni的规则,年代＝hSin(90°−θ)/ Sin θ，与公式等价年代＝h轻便θ。基于这个规则，他构造了一个“阴影表”——本质上是一个共切线表——代表从1°到90°的每一个度。正是通过al- bā ttttni的工作，印度教的半和弦函数——相当于现代的正弦——在欧洲为人所知。

欧洲之旅

直到16世纪，学者们感兴趣的主要是球面三角法——这是由于球面三角法的优势天文学在自然科学中。a的第一个定义球面三角形载于Sphaerica，三本书论文通过亚历山大的墨涅劳斯（c。One hundred.ce)，墨涅劳斯发明了球形的欧几里德几何学的平面三角形的命题。球形三角形被理解为是指在地面上形成的图形表面的球由三条圆弧构成的大圆，即圆心与圆心重合的圆。平面三角形和球面三角形之间有几个基本的区别。例如，两个角成对相等的球面三角形为相等的(大小和形状相同)，而它们仅在平面情况下相似(形状相同)。同样，球面三角形的角和总是大于180°，而平面三角形的角和总是恰好为180°。

特别是一些阿拉伯学者nasem īr al d īn al-Ṭūsī(1201 - 74)al-Bāttā倪他继续发展球面三角，并将其发展为现在的形式。Ṭūsī是第一个(c。1250年)写一本关于三角学的独立于天文学的著作。但是第一本完全致力于三角学的现代书籍于1533年在巴伐利亚城市Nürnberg出现，书名是论各种三角形．它的作者是天文学家雷乔蒙塔努斯(1436 - 76)。在三角形包含解三角形所需的所有定理，平面的或球形的——尽管这些定理是用语言形式表示的，作为符号代数还没有被发明出来。特别是正弦定律基本上是用现代的方式表述的。在三角形深受后世科学家的敬仰;天文学家Nicolaus哥白尼(1473-1543)深入研究了它带注释的复制幸存。

经典三角学的最后一个重大发展是对数苏格兰数学家约翰纳皮尔在1614年。他的对数表非常有用促进数值计算的艺术，包括编译的三角函数表并被誉为对科学最伟大的贡献之一。