三角函数gydF4y2Ba
三角函数gydF4y2Ba
快速的事实gydF4y2Ba
媒体gydF4y2Ba
更多的gydF4y2Ba

现代三角gydF4y2Ba

从几何分析三角gydF4y2Ba

在16世纪三角学开始改变它的字符从纯几何gydF4y2Ba纪律gydF4y2Baalgebraic-analytic主题。两个发展促使这种转变:符号代数的兴起,开创了由法国数学家gydF4y2Ba弗朗索瓦VietegydF4y2Ba(1540 - 1603),而发明的gydF4y2Ba解析几何gydF4y2Ba两个法国人,gydF4y2Ba皮埃尔·德·费马gydF4y2Ba和gydF4y2Ba勒奈·笛卡尔gydF4y2Ba。Viete表明许多代数方程的解可以表示三角函数表达式的使用。例如,gydF4y2Ba方程gydF4y2BaxgydF4y2Ba3gydF4y2Ba= 1有三个解决方案:gydF4y2Ba

  • xgydF4y2Ba= 1,gydF4y2Ba
  • 因为120°+gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪120°=gydF4y2Ba−1 +gydF4y2Ba我gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba3gydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
  • 因为240°+gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪240°=gydF4y2Ba−−1gydF4y2Ba我gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba3gydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

(这里gydF4y2Ba我gydF4y2Ba的象征gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba−1gydF4y2Ba,“gydF4y2Ba虚数单位gydF4y2Ba”。)三角函数表达式可能出现在一个纯粹的解决方案gydF4y2Ba代数方程gydF4y2Ba是一个在Viete新奇;他利用这优势一个著名的相遇gydF4y2Ba国王亨利四世gydF4y2Ba法国和荷兰的驻法国大使。后者轻蔑地谈到了质量差的法国数学家和挑战国王奥斯塔Roomen带来的问题,教授gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba鲁汶大学和医学(比利时),来解决一个45度的代数方程。国王召见Viete,立即发现了一个解决方案,第二天想出了22。gydF4y2Ba

Viete也是第一个合法化的使用gydF4y2Ba无限gydF4y2Ba过程的数学。1593年,他发现了gydF4y2Ba无限gydF4y2Ba产品,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba/gydF4y2BaπgydF4y2Ba=gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba2gydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba∙gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba(2 +gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba∙gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba(2 +gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba(2 +gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋯,gydF4y2Ba被认为是一个最美丽的数学公式的递归模式。通过计算越来越多的方面,你可以用这个公式来近似π的值的任何预期的准确性。1671年gydF4y2Ba詹姆斯·格雷戈里gydF4y2Ba(1638 - 75)发现的gydF4y2Ba幂级数gydF4y2Ba(gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba点击这里查看尺寸表gydF4y2Ba为三个三角函数幂级数gydF4y2Ba逆切表)gydF4y2Ba函数gydF4y2Ba(弧棕褐色或棕褐色gydF4y2Ba−1gydF4y2Ba),他让gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 1,公式gydF4y2BaπgydF4y2Ba/gydF4y2Ba4gydF4y2Ba= 1−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba3gydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba5gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba7gydF4y2Ba+⋯,gydF4y2Ba这显示出非凡的π和整数之间的联系。尽管系列聚合太慢的实用计算π(这需要628术语准确获得两个小数位)。随后不久gydF4y2Ba艾萨克·牛顿gydF4y2Ba(1642 - 1727)发现的正弦和余弦的幂级数。然而,(研究带来了gydF4y2Ba光gydF4y2Ba这些公式是已知,以口头形式,由印度天文学家gydF4y2BaMadhavagydF4y2Ba(gydF4y2Bac。gydF4y2Ba1340 - 1425]。)gydF4y2Ba

三角和的逐步统一gydF4y2Ba代数gydF4y2Ba——在特定的使用gydF4y2Ba复数gydF4y2Ba(数字的形式gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba我gydF4y2BaygydF4y2Ba,在那里gydF4y2BaxgydF4y2Ba和gydF4y2BaygydF4y2Ba是gydF4y2Ba实数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba√gydF4y2Ba√gydF4y2Ba−1gydF4y2Ba在18世纪)三角公式完成。1722年gydF4y2Ba亚伯拉罕de MoivregydF4y2Ba(1667 - 1754),gydF4y2Ba隐式的gydF4y2Ba形式,著名的公式gydF4y2Ba(因为ø+gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪ø)gydF4y2BangydF4y2Ba=因为gydF4y2BangydF4y2Baø+gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪gydF4y2BangydF4y2Baø,gydF4y2Ba一个可以找到吗gydF4y2BangydF4y2Bath的根gydF4y2Ba复数gydF4y2Ba。这是瑞士数学家gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba(1707 - 83),他完全把复数到三角。gydF4y2Ba欧拉公式gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaøgydF4y2Ba=因为ø+gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪ø,gydF4y2BaegydF4y2Ba≅2.71828是自然的基础gydF4y2Ba对数gydF4y2Ba1748年,在他的伟大的工作gydF4y2Ba在屈曲分析Introductio infinitorumgydF4y2Ba尽管罗杰·柯特斯公式已经知道它的逆形式øgydF4y2Ba我gydF4y2Ba日志(因为ø+ =gydF4y2Ba我gydF4y2Ba1714年罪ø)。替换成这个公式ø=π值,获得一个gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaπgydF4y2Ba=因为π+gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪π=−1 + 0gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=−1或等价,gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaπgydF4y2Ba+ 1 = 0。这个最有趣的数学公式包含加法和乘法身份(分别为0和1),两个无理数,最经常发生在物质世界(π和gydF4y2BaegydF4y2Ba),和虚数单位(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba),它还雇佣了加法和exponentiation-hence其伟大的基本操作gydF4y2Ba审美gydF4y2Ba的吸引力。最后,结合他的公式与同伴公式gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba我gydF4y2BaøgydF4y2Ba= cos(−ø)+gydF4y2Ba我gydF4y2Basin(−ø)= cosø−gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪ø,gydF4y2Ba欧拉获得表达式gydF4y2Ba因为ø=gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaøgydF4y2Ba+gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba我gydF4y2BaøgydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba和gydF4y2Ba罪ø=gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaøgydF4y2Ba−gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba我gydF4y2BaøgydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2Ba这是现代的基础gydF4y2Ba分析gydF4y2Ba三角。gydF4y2Ba

方程写在黑板上gydF4y2Ba
yabo亚博网站首页手机大英百科全书测验gydF4y2Ba
数字和数学gydF4y2Ba

应用科学gydF4y2Ba

尽管这些发展三角学脱离原来的连接转移到三角形,实用方面的主题并没有被忽视。17和18世纪看到无数的发明机械设备准确gydF4y2Ba时钟gydF4y2Ba和导航工具,乐器的卓越的品质和更大的色调范围至少需要一些三角学的知识。一个值得关注的应用程序的科学gydF4y2Ba炮兵gydF4y2Ba——在18世纪gydF4y2Ba是gydF4y2Ba一门科学。gydF4y2Ba伽利略gydF4y2Ba(1564 - 1642)发现任何motion-such力下的弹丸gydF4y2Ba重力gydF4y2Ba可以解决两个组件,一个水平和垂直,那这些组件可以独立于彼此。这个发现使科学家范围的公式的炮弹初速gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2Ba(它使炮的速度)和仰角gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba的大炮。的gydF4y2Ba理论gydF4y2Ba范围内,在没有空气阻力的情况下,给出了gydF4y2BaRgydF4y2Ba=gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2Ba2gydF4y2Basin2gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba/gydF4y2BaggydF4y2Ba,gydF4y2Ba在哪里gydF4y2BaggydF4y2Ba重力加速度(9.81米/秒呢gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)。这个公式表明,对于给定的初速,完全取决于范围gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba;时达到最大值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba= 45°和脱落的两侧对称45°。当然,这些事实已经知道多年经验,但他们的理论解释是伽利略的新奇。gydF4y2Ba

三角函数的另一个实用方面收到了大量的关注在这个时期gydF4y2Ba测量gydF4y2Ba。的方法gydF4y2Ba三角测量gydF4y2Ba在1533年首次提出由荷兰数学家吗gydF4y2Ba吉玛FrisiusgydF4y2Ba(1508 - 55):选择一个基础gydF4y2Ba行gydF4y2Ba已知的长度,从其端点的角度测量远程对象。对象之间的距离从端点可以通过使用基本三角函数计算。然后重复此过程与新基地线的距离,直到整个地区调查是由一个三角形的网络。方法首次大规模进行另一个荷兰人,gydF4y2BaWillebrord斯奈尔gydF4y2Ba(1580 ? -1626)调查了一段130公里(80英里)在荷兰,使用33个三角形。法国政府领导下的天文学家gydF4y2Ba吉恩·皮卡德gydF4y2Ba(1620 - 82),答应满足整个国家,一个任务是接管一个世纪和涉及卡西尼家族的四代(gydF4y2Ba吉安gydF4y2Ba,gydF4y2Ba雅克。gydF4y2Ba,gydF4y2BaCesar-FrancoisgydF4y2Ba,gydF4y2Ba多米尼克gydF4y2Ba)的天文学家。英国进行了一个更加雄心勃勃的任务的整个印度次大陆的调查。被称为gydF4y2Ba大三角的调查,从1800年持续到1913年,达到最高的发现gydF4y2Ba山gydF4y2Ba在gydF4y2Ba地球gydF4y2Ba峰十五,或gydF4y2Ba珠穆朗玛峰gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

并发gydF4y2Ba这些发展,18世纪的科学家们也将注意力转向方面出现的三角函数gydF4y2Ba周期性gydF4y2Ba。如果余弦和正弦函数被定义为的预测gydF4y2BaxgydF4y2Ba- - -gydF4y2BaygydF4y2Ba分别相互重合的点上移动一个单位圆(圆的中心在原点和半径为1),那么这些函数将每360°重复他们的价值观,或2π弧度。因此正弦和余弦函数的重要性在描述周期性的现象,振动的gydF4y2Ba小提琴gydF4y2Ba字符串,一个时钟的振荡gydF4y2Ba摆gydF4y2Ba,或者是gydF4y2Ba传播gydF4y2Ba的gydF4y2Ba电磁波gydF4y2Ba。这些调查时达到了高潮gydF4y2Ba约瑟夫傅里叶gydF4y2Ba(1768 - 1830)发现,几乎所有的周期函数可以表示为一个无限的正弦和余弦函数的时期gydF4y2Ba积分gydF4y2Ba因数的时期的原始功能。例如,函数可以写成“锯齿”gydF4y2Ba2(罪gydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba罪2gydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba罪3gydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2Ba3gydF4y2Ba−⋯);gydF4y2Ba系列中术语连续添加,一个更好的近似锯齿波函数的结果。这些三角或gydF4y2Ba傅里叶级数gydF4y2Ba发现许多应用程序在几乎每一个科学分支,是从哪里来的gydF4y2Ba光学gydF4y2Ba和gydF4y2Ba声学gydF4y2Ba来gydF4y2Ba广播gydF4y2Ba传输和gydF4y2Ba地震gydF4y2Ba分析gydF4y2Ba。扩展到非周期的函数的发展发挥了关键作用gydF4y2Ba量子力学gydF4y2Ba在20世纪早期。三角学,总的来说,与傅里叶定理成熟;进一步发展(例如,泛化的傅里叶级数gydF4y2Ba正交gydF4y2Ba),但非周期的功能远远超出了本文的范围。gydF4y2Ba

伊莱MaorgydF4y2Ba