平面三角

在三角学的许多应用中，最基本的问题是解三角形．如果已知足够多的边和角，那么剩余的边和角以及面积就可以计算出来，那么这个三角形就被解出来了。三角形可以用正弦定理和余弦定理来解。为了保证这些定律的对称性，三角形的角都用字母表示一个，B,C角对边的长度用字母表示一个，b,c,分别。

的正弦定律表示为包含三个正弦函数的等式，而余弦定律是余弦的一种恒等式，其代数表达式由对应角对边的长度构成。解三角形，所有已知的值代入表示正弦和余弦定律的方程，并求解未知量的方程。例如，当已知两个角和一条边，或者已知两条边和一条边的对角时，就可以使用正弦定律。同样，余弦定律适用于已知两条边和一个夹角或已知三条边的情况。

关于三角学的文本推导出求解三角形和检验解的其他公式。旧的教科书经常包括特别适合的公式对数计算。然而，较新的教科书经常包括简单的计算机指令，用于符号数学程序。

球面三角学

球面三角学涉及到球面三角形，由三个交点组成大圆弧线表面的球．球形三角形从古代因为它们在导航，制图学,天文学．（见上图欧洲之旅．)

球面三角形的角由每个顶点对应的切线的交角来定义。球面三角形的两角之和总是大于平面三角形的两角之和(π弧度，相当于两个直角)。每个球面三角形超过两个直角(以弧度为单位)的量称为球面余量。球面三角形的面积由球面余量的乘积给出E半径的平方r它存在于符号中，Er²．

点击这里查看全尺寸表格通过连接顶点一个圆心的球形三角形O对于它所在的球体，一个特殊的“角”被称为a三面角就形成了。每一对之间的圆心角(也称为二面角)行段O一个，OB,OC是否标记α， β和γ对应于标记的球面三角形的边(弧)一个，b,c,分别。因为一个三角函数当圆心角与其对应的圆弧值相同时，给出了以圆心角为单位的球三角函数公式一个，B,C在弧线方面，可以互换一个，b,c二面角α β γ。此外，大多数平面三角公式都有一个类似的球面三角函数的表示。例如，有球面正弦定理和球面余弦定理。

正如对平面三角形所描述的那样，涉及球面三角形的已知值被替换到类似的球面三角公式中，例如正弦和余弦定律，然后求解未知量的结果方程。

点击这里查看全尺寸表格球面三角形的边角之间还有许多其他的关系。值得一提的是纳皮尔类比(可从球面三角半角或半边公式导出)，特别适合与对数表一起使用。

分析三角

分析结合三角函数的使用坐标系统，如所用的笛卡尔坐标系解析几何，以代数方法处理各种三角函数，以获得对科学和工程应用有用的公式。

实变量的三角函数x由角的三角函数定义。比如，罪x在这x是一个实数定义为角的正弦值包含x弧度。对于实变量的其他五个三角函数也作了类似的定义x．这些函数满足前面提到的三角关系一个，B， 90°，360°替换为x，y，^π/₂弧度，和2π弧度。tan的最小周期x和床x是π，其他四个函数是2π。

在微积分这表明，罪x,因为x的和幂级数．这些级数可以用来计算任何角度的正弦和余弦。例如，要计算sin10°，必须找到价值罪的^π/₁₈因为10°是夹角^π/₁₈弧度。当^π/₁₈在级数中替换了sinx，发现前两项为0.17365，这是正确的小数点后5位的正弦10°。通过取级数的足够多的项，可以正确地得到任何小数位。可以使用函数表来描绘函数的图形。

每个三角函数都有一个逆函数，即“撤销”原函数的函数。例如，写出正弦函数的逆函数Arcsin或sin⁻¹，因此罪⁻¹(罪x) =罪恶⁻¹x) =x．另一个三角函数逆函数的定义类似。

坐标和坐标的变换