矢量分析

矢量分析的一个分支数学它处理的是既有大小又有方向的量。一些称为标量的物理和几何量，可以用适当的度量单位指定它们的大小来完全定义。因此，质量可以用克来表示，温度以度为单位，时间以秒为单位。标量可以用一些数值尺度上的点来图形化地表示，如时钟或温度计．还有一些量，叫做矢量，需要指明方向和大小。速度,力，位移是矢量的例子。一个向量数量可以用有向线段图形化地表示，用指向矢量方向的箭头表示，线段的长度表示矢量的大小。

向量代数。

一个原型向量的有向线段一个B（看到图1)，可以认为它代表质点从初始位置的位移一个到一个新的职位B．为了区别矢量和标量，习惯上用粗体字母表示矢量。因此向量一个B在图1可以用一个它的长度(或大小)除以|一个|。在许多问题中，矢量的起始点的位置是无关紧要的，因此，二向量如果它们有相同的长度和相同的方向，就被认为是相等的。

两个向量的相等一个而且b是用常用的符号表示的吗一个＝b，并用几何方法给出了向量上初等代数运算的一些有用定义。因此,如果一个B＝一个在图1表示质点的位移一个来B然后粒子被移动到一个位置C，所以BC＝b，很明显，位移从一个来C可以通过一次位移来完成吗一个C＝c．因此，写作是合乎逻辑的一个+b＝c．这个和的构造，c的,一个而且b产生与平行四边形定律相同的结果c是由对角线给出的一个C平行四边形的向量一个B而且一个D双方。自起始点的位置B向量的BC＝b是非物质的，是这样吗BC＝一个D．图1显示,一个D+DC＝一个C，以便交换律向量加法成立。而且，这很容易表明结合律是有效的，因此(2)中的括号可以省略，没有任何模棱两可．

如果年代是标量，年代一个或一个年代定义为长度为|的向量年代||一个|的方向一个当年代与的正相反一个如果年代是负的。因此,一个和- - - - - -一个是大小相等但方向相反的向量。前面的定义和标量数(用年代而且t)表明

由于定律(1)、(2)、(3)与一般代数中遇到的定律相同，所以用我们熟悉的代数规则来求解含向量的线性方程组是很合适的。这一事实使我们可以用纯代数的方法推导出许多定理合成欧几里德几何这需要复杂的几何结构。

向量的乘积。

向量相乘会得到两种类型的积，点积和叉积。

积两个向量的点积或标量积一个而且b写一个·b，是一个实数|一个||bcos (一个，b)，其中(一个，b)表示方向之间的夹角一个而且b．几何,

如果一个而且b是直角吗一个·b= 0，如果两者都不是一个也不b是0向量然后点积的消失表示向量是垂直的。如果一个＝b然后cos (一个，b) = 1，和一个·一个= |一个|²给出了广场的长度一个．

的结合律、交换律和分配律初等代数对于向量的点乘是有效的。

向量积两个向量的叉乘或向量积一个而且b写一个×b，为向量在哪里n单位长度的向量垂直于的平面吗一个而且b并引导一个右旋螺丝从一个向b会向什么方向前进n（看到图2)．如果一个而且b是平行的,一个×b= 0。的量级一个×b可以用平行四边形的面积来表示吗一个而且b作为相邻两侧。同样，由于旋转b来一个与之相反吗一个来b，

这说明叉乘不是交换律，而是结合律(年代一个)×b＝年代（一个×b)及分配律对叉乘有效。

坐标系统。

自经验法律的物理不依赖于特殊或偶然选择的参考系选择来表示物理关系和几何构型，矢量分析形成了研究物理宇宙的理想工具。介绍一个特别的参考系或坐标系统建立了向量和表示坐标系中向量分量的数集之间的对应关系，并从线段上的运算规则推导出这些数集上的明确运算规则。

如果选择了三个非共线向量(称为基向量)的某个特定集合，则任意向量一个可以唯一表示为边长为分量的平行六面体的对角线一个在基向量的方向上。常用的是三套相辅相成正交单位向量(也就是说,长度为1的向量我，j，k沿着熟悉的笛卡尔参考系的轴(看到图3)．在这个系统中，表达式采用了这种形式在哪里x，y,z是投影一个在坐标轴上。当两个向量一个₁而且一个₂表示为然后利用定律(3)得到它们的和

因此，在笛卡尔坐标系中，的和一个₁而且一个₂向量是否由(x₁+y₁，x₂+y₂，x_3.+y_3.)．点积也可以写成自

法律的运用(6)收益率为所以叉乘是由三倍数决定的向量，这些数表示为的系数我，j,k(9)。

如果向量由1 × 3(或3 × 1)矩阵表示，该矩阵由以下分量(x₁，x₂，x_3.)，则可以将式(7)至式(9)改写为矩阵的形式。这样的重新措辞表明将矢量的概念推广到高于三维的空间。例如，气体的状态通常取决于压力p,体积v、温度T，和时间t．四倍数(p，v，T，t)不能用三维参考系中的一点来表示。但是由于几何可视化在代数计算中没有作用，通过引入由基向量集确定的四维参考系，仍然可以使用几何的具象语言一个₁，一个₂，一个_3.，一个₄分量由矩阵的行决定

一个向量x然后在表单中表示所以在一个四维空间时，每个向量由分量(x₁，x₂，x_3.，x₄)．

向量的微积分。

在三维空间中运动的粒子可以在每一个瞬间被定位t由一个位置矢量r从某个固定的参考点绘制O．自终点的位置r取决于时间，r向量函数是t．它在直角轴方向上的分量，在O的系数我，j,k在表示法中

如果这些分量是可微函数，则导数的r关于t由公式定义表示速度v粒子的。的笛卡尔分量v的系数我，j,k(10)。如果这些分量也是可微的，加速度一个＝dv/dt是由区分(10):

标量函数的积的微分法则对于向量函数的点积和叉积的导数仍然有效，并且对积分向量函数允许构造微积分向量，这已经成为一个基本的分析物理科学和技术中的工具。