变分演算

微积分的先驱，比如皮埃尔·费马而且戈特弗里德·威廉·莱布尼茨他发现，导数给出了一种求函数的极大值(最大值)和极小值(最小值)的方法f（x)的实变量x,因为f”(x) = 0。然而，真正的变量优化问题并不是分析史上的第一个问题。自古以来，数学家们一直在寻求通过改变一个函数来优化数量。这里有三个经典问题，其中函数(在这种情况下是曲线)变化。

• 的等周问题．通常可以追溯到传说中的女王蒂朵这个问题问的是，在给定长度的曲线上，什么样的曲线能覆盖最大的面积。答案是一个圆，尽管证明并不明显。最难的部分是证明面积最大化曲线的存在，直到19世纪才令人满意地完成。
• 光路问题．在1世纪ce， 亚历山大的苍鹭注意到 反射定律——入射角等于反射角——可以重新表述为反射光的路径最短——或者假设它的速度有限的话，时间最短。约1660皮埃尔·费马将这一想法推广到所有光线的最短时间原则(重新引入一个目的论科学原理)。假设光从一种介质中的一点到另一种介质中光速不同的点所走的路径时间最短，费马就能证明入射角和折射角之间的变化取决于光通过这两种介质的速度的变化。正式地表示为^{罪恶(入射角)}/_入射速度＝^{Sin(折射角)}/_折射速度，费马的推广被解释了斯涅尔定律的折射^{罪恶(入射角)}/_{Sin(折射角)}=常数,1621年通过实验发现。
• 的最速降线问题．1696年 约翰·伯努利提出了一个问题，即找到粒子在自重作用下无摩擦下落所需时间最短的曲线。这条曲线被称为“最短时间”(brachistochrone，源自希腊语，意为“最短时间”) 摆线即圆周上的一点沿直线滚动所画出的曲线。（看到

  

  数字)。解是由艾萨克·牛顿，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，雅各布·伯努利以及约翰·伯努利本人。约翰的解决方案特别有趣，因为它使用了费马最短时间原理，用光速变化的介质中的光线取代下降的粒子。在这种情况下，光线沿着一条曲线，“入射角”等于曲线的切线与垂线之间的夹角。高度的“光速”y作为一个自由下落的粒子，费马的斯涅尔定律给出了高度的切线方向y．结果是一个微分方程y，其解为摆线。

在18世纪欧拉而且约瑟夫·路易斯·拉格朗日解决一般类型的优化问题，如寻找曲面上最短的曲线，通过找到一个微分方程满足的最优成员在某类函数。因为他们的方法在假设的最优函数中做了“小的变化”，这门学科后来被称为变分演算。它的根本重要性在1846年被强调皮埃尔·德·莫佩尔图伊提出了最小作用原理，这是对费马原理的全面推广，它被认为可以解释所有的力学．

动作是能量与时间的积分，正确的原理实际上不是最小动作，而是静止动作(在某些情况下，动作是最大值)。19世纪30年代威廉·罗文·汉密尔顿证明了所有经典力学定律都是基于静止作用的假设，反过来，经典力学定律也隐含着静止作用。因此，所有经典力学都可以概括为一个简单的、不涉及坐标的、只涉及能量和时间的原理。这一原则的一个更伟大的贡献是它产生了相对论而且量子力学20世纪的。