Gödel的第一不完备性定理

1931年Gödel发表了他的第一个不完备性定理，“Über formal unentscheidbare Sätze der数学原理的形式不可定命题”数学原理以及相关系统”)，这是20世纪逻辑学的一个重要转折点。这个定理证明了不可能用公理化方法…

在Gödel的发现之前，一个数学系统似乎是完整的，即该系统的任何形式良好的公式都可以根据给定的一组假设被证明或否定。但是Gödel严格地展示了(曾经……

同样推广的Gödel的不完备性定理说，在通常的算术语言中，仅仅看ω-完备模型是不够的:假设ℒ是一致的，并且ℒ的定理是递归可枚举的，借助于一个可判定的概念…

最初假定描述性完备性和演绎完备性是一致的。希尔伯特(Hilbert)在他证明算术一致性的元理论项目中依赖于这一假设，而Kurt Gödel对一阶语义完备性的证明又加强了这一假设。

使用这个概念，Gödel的不完备性定理有时是这样表述的:“每个有趣的(或重要的)形式系统都有一些不可判定的句子。”

Gödel的不完备性定理允许T_一个包含的宾语多于ω，但其中所有T_一个(即系统N的定理)为真。Skolem的结构(与超产物有关，下面讨论)产生了两个理论的非标准模型。

逻辑，特别是库尔特Gödel的第一不完备定理，这意味着没有公理理论可以捕捉所有的算术真理。然而，总的来说，哲学家们并没有发现这种从数学逻辑中提取出一种反物质主义哲学的尝试是令人信服的。然而，智能的机械化问题，包括数学能力……

……20世纪:他著名的不完备性定理，该定理指出，在任何公理数学系统中，都存在不能根据该系统中的公理证明或证伪的命题;因此，这样的系统不可能同时完整和一致。这个证明证明Gödel是…

此外，Kurt Gödel的第一不完备性定理(1931)证明了不可能有一个单一的逻辑理论，从它可以推导出整个数学:所有一致的算术理论都必然是不完备的。数学原理然而，这只不过是一次英雄式的失败。它对……的影响