Interdefinability的运营商

上面所述的规则可以使表3中所列的第一个德·摩根定律将包含任意多次·的任意wff转化为完全不存在·的等价wff，但是用某些~和∨的复核来代替它。同样，since∼p∨问有相同的真值表作为p⊃问, (p⊃问≡(∼)p∨问)是有效的，因此任何包含⊃的WFF都可以转化为包含∼和∨但不包含⊃的等价WFF。并且，因为(p≡问)≡[(p⊃问)·(问⊃p)]是有效的，任何包含≡的WFF都可以转化为包含⊃和·但不≡的等价物，因此通过前面的步骤，它又可以进一步转化为包含∼和∨但既不≡也不⊃和·的等价物。因此，对于PC的每一个wff，都有一个等效的wff，表达完全相同真理函数，其中唯一的操作符是∼和∨，尽管这个WFF的含义通常比原来的含义不清楚得多。

一个替代因此，表示PC的方法是只从算子∼和∨开始，并根据这些来定义其他的。算子∼和∨被认为是原始的．如果“=_Df的意思是“被定义为”，那么相关的定义可以设定如下:(α·β) =_Df∼(∼α∨∼β)
(α⊃β) =_Df(∼α∨β)
(α≡β) =_Df[(α⊃β)·(β⊃α)]其中α和β是PC的任意wffs。这些定义本身并不是PC的胡言乱语，=也不是_DfPC的象征;它们是关于PC的元逻辑陈述，用于在系统中引入新的符号·、⊃和≡。如果将PC视为一个纯粹的非解释系统，则定义中左边的表达式只是右边表达式的方便缩写。但是，如果认为PC有其标准的解释，则∼和∨首先就有规定通过真值表，然后定义将规定左边的表达式必须被理解为具有与右边的表达式相同的含义(即，相同的真值表)。用这种方法得到的·、⊃和≡的真值表很容易检查，这些真值表正是最初为它们规定的真值表。

另一种选择是将∼和·确定为本源，将(α∨β)确定为∼(∼α·∼β)，将(α⊃β)确定为∼(α·∼β)，并按原方法确定(α≡β)。然而,另一种可能是将∼和⊃作为原语，将(α∨β)定义为(∼α⊃β)， (α·β)定义为(α⊃∼β)， (α≡β)与前面一样。在每种情况下，在系统的原始表示中有效的wffs仍然有效。

公理化的个人电脑

构造一个公理系统是选择特定的WFFS(被称为公理)作为起点，并给出推导进一步WFFS的规则(称为定理)。这样的规则被称为转换规则．有时“定理”这个词被用来涵盖公理和定理;“thesis”这个词也用于此目的。

一个公理的基础上由

• 1.一个list of原始的符号，连同任何被认为方便的定义，
• 2.一个年代et of formation rules, specifying which sequences of symbols are to count as wffs,
• 3.一个list of wffs selected as axioms, and
• 4.一个年代et of (one or more) transformation rules, which enable new wffs (theorems) to be obtained by performing certain specified operations on axioms or previously obtained theorems.

定义，在它们出现的地方，可以作为额外的转换规则，其效果是，如果在任何定理在定义的一侧出现的任何形式的表达式都被另一侧出现的相应形式的表达式所取代，其结果也可以算作一个定理。一个证明或者WFF α在公理系统年代是否有一个WFF序列，其中最后一个是α本身，序列中的每个WFF都是的公理年代或由某个公理或已推导出的定理导出，或由的其中一个变换规则导出年代．wff是一个定理年代当且仅当有证据时年代．

在阐明公理基础时，通常要小心避免所有的引用解释．必须能够单纯从wff的构造来判断它是否是一个wff公理与否。此外，转换规则必须如此表述，以至于有一种有效的方法来判断它们的任何所谓的应用是否是正确的应用，从而判断一个定理的所谓证明是否真的是一个证明。这样，一个公理系统将是一个纯粹的形式结构，在这个结构上，可以强加任何一种解释，或者根本没有解释，而不影响哪些wffs是定理的问题。然而，通常情况下，一个公理系统是在头脑中建立起某种解释的;转换规则是这样制定的，在该解释下，它们是有效的(即，将它们应用到有效WFFS的结果本身总是有效WFFS);所选择的公理要么是有效的WFFS，要么是用于探索结果的原则的表达。

也许最著名的公理系统的PC是下面一个，因为它是从数学原理(1910 - 13)阿尔弗雷德·诺斯·怀特海而且伯特兰·罗素，常被称为下午:

• 本原符号:∼、∨、(，)和an无限一组变量，p，问，r，…(带或不带数字下标)。
• ·，⊃，≡(见上图 操作符的互定义性)．
• 队形规则(见上图 PC的形成规则)，除了形成规则3可以缩写为“如果α和β是wff， (α∨β)是wff”，因为·、⊃和≡都不是基元的。
• 公理:
• 1. （p∨p)⊃p
  2. 问⊃(p∨问）
  3. （p∨问)⊃(问∨p）
  4. （问⊃r)⊃[(p∨问)⊃(p∨r）]

     公理4可以读作:“如果问意味着r那么，如果有的话p或问,要么p或r．”

• 转换规则:

  1. 用任意wff均匀地替换定理中的任意变量的结果就是定理(替换规则)。
  2. 如果α和(α⊃β)是定理，那么β是一个定理(分离规则，或 演绎推理)．

相对于给定的标准就有效性而言，如果一个公理系统的每个定理都是有效的，那么它就是合理的完整的(或者更具体地说，如果每个有效WFF都是一个定理，则弱完全)。相对于已经给出的有效性标准，公理系统PM可以被证明是健全和完整的(见上图PC的有效性)．

公理系统是一致的如果，当WFF α是定理时，∼α就不是定理。(就标准解释而言，这意味着没有定理对可以是派生的其中一个是另一个的否定。)它是强完全，如果任何WFF的附加(作为一个额外的公理)，无论它已经不是一个定理，将使系统不一致。最后，一个公理或变换规则是独立的(在一个给定的公理系统中)，如果它不能从公理基的余数中推导出来(或者，如果从公理基中省略它将使某些定理的推导不可能)。此外，还可以证明PM是一致和强完备的，并且它的每一个公理和转换规则都是独立的。

相当多的其他公理每个具有上述所有属性的PC基都是已知的。证明它们具有这些性质的任务属于元逻辑．

在一些正式的标准阐述中逻辑，公理的位置被公理它不是将某些特定的WFF表示为公理，而是规定某种形式的任何WFF都是公理。例如，在PM中公理1的位置，可以有这样的公理图式:“(α∨α)⊃α的每一个wff都是公理”;类似的模式可以是用其它公理代替。公理的数量将变得无限，但是，另一方面，代换规则将不再需要，而方法可能是唯一的转换规则。这种方法对可以导出的定理没有影响，但是，在逻辑的某些分支中(虽然不是在PC中)，使用公理图式比使用特定的公理和代换规则更简单。拥有一个无限只要有一种有效的方法来判断WFF是否是公理，公理的数量就不会造成麻烦。

PC机部分系统

各种各样的命题演算已经被设计用来表达比上面所述的PC更窄的真值函数范围。其中，研究得最充分的是纯隐含演算(PIC)，其中唯一的操作符是⊃，而wffs正是PC中的wffs，可以由变量⊃和括号单独构建。队形规则2及3 (见上图PC的形成规则)因此被规则取代，如果α和β是wff， (α⊃β)是wff。与普通PC一样，p⊃问被解释为"p物质上意味着问”即:，作为true except whenp是真的，但是问假的。然后，真值表效度检验可以直接应用于PIC的wffs。

的任务使公理化PIC是找到一组有效的wff，最好是数量少，结构相对简单，从它可以通过简单的转换规则导出系统的所有其他有效wff。最著名的基础是在1930年制定的，它有替换和方法的转换规则(如PM)和以下公理:

1. p⊃(问⊃p）
2. [（p⊃问)⊃p]⊃p
3. （p⊃问)⊃[(问⊃r)⊃(p⊃r）]

公理1和公理3分别与PM的公理2和公理4密切相关(见上图PC的公理化)．可以证明基是完备的，每个公理是独立的。

在标准解释下，以上公理(1)“如果一个命题p是真的，那么如果某个任意命题问是真的,p这(仍然)是正确的。(2)“如果事实表明某一命题。p暗示着一些任意的命题问意味着p那么，它本身就是真的了p(确实)是真的。(3)“如果一个命题(p)表示第二个(问)，那么如果第二个命题暗示了第三个命题(r)，第一个意味着第三个。”的完整性然而，依据是一个形式问题，不依赖于这些或任何其他公式的解读。

一个更为经济完整的PIC基础包含了同样的内容转换规则不过是唯一的公理[（p⊃问)⊃r]⊃[(r⊃p)⊃(年代⊃p)]。已经证明，这是为具有这些转换规则的PIC提供完整基础的最短的可能的单一公理。

由于PIC不包含否定符号，因此之前的一致性解释对它不具有显著的适用性。然而，也有人提出了一致性的替代解释，根据这种说法，一个系统是一致的(1)如果没有由单个变量组成的wff是一个定理，或者(2)如果不是每个wff都是一个定理。所述的基础在这些意义上是一致的。