模态逻辑

真正的命题可分为像“2 + 2 = 4”——用逻辑是正确的吗必要性(必要的命题),像“法国是一个共和国”——不(临时地真正的命题)。同样,假命题可以分为像“2 + 2 = 5”——逻辑的必然性是假的(不可能的命题),和像“法国是一个君主制”——不是(临时地假命题)。临时地统称为真,临时地假命题或有命题。一个是不可能的(即命题。,one that is either necessary or contingent) is said to be a possible proposition. Intuitively, the notions of necessity and可能性以以下方式连接:说一个命题是必要的是说,它不可能是假的,说一个命题是可能的,是说它不一定是假的。

如果某一命题逻辑上是不可能的,p,没有一定的命题是真的,问(即,也是如此。,如果的结合p而不是,问在逻辑上是不可能的),那么说的p严格意味着问。一个替代等效的方法解释严格的概念含义是说,p严格意味着问当且仅当它是必要的p物质上意味着问。“约翰的领带是红色”,例如,严格意味着“约翰的领带是红色的,因为它不可能是约翰的领带是红色不红(或一定是正确的,如果约翰的领带是红色,它是红色的)。一般来说,如果p是一起的前提,问演绎有效的结论推理,p将严格意味着问。

简称于需要概念,可能,不可能,应急,严格意义和某些其他的被称为密切相关模态概念和逻辑表达原则涉及它们被称为设计模态逻辑。

最简单的方法构建这样一个逻辑是添加一些标准nonmodal系统一个新的原始运营商为了代表之一上面提到的模态概念,定义其他模态运营商而言,和增加某些特殊公理转换规则或两者兼而有之。许多系统模态逻辑的构造,但注意将限制来几个密切相关的底层nonmodal系统普通个人电脑。

模态逻辑的替代系统

所有的系统要考虑wffs相同但不同的公理。可以指定wffs通过添加到电脑一个原始的象征一元操作符l和电脑的形成规则的规则,如果αwff,也是如此lα。l是为了被视为”是必要的,“所以呢lp当且仅当还会是真的p是一个必要的命题。一元操作符米和二元操作符ℨ(被解释为“有可能”和“严格意味着,”)可以由下面的定义,引入反映在一个明显的非正式的帐户上面给出的必要性之间的联系,可能性,和严格的含义:如果任何wffα,米α是∼的缩写l∼α;如果任何wffsα和β,那么αℨβ的缩写l(α⊃β)[或者∼M(α·∼β)]。

的模态系统被称为T为公理一些组公理适合个人电脑(如点),此外

l p⊃p
l(p⊃问)⊃(l p⊃l 问)

公理1表达的原则必然是真的是真的,和2的原则,如果问逻辑上遵循从p那么,如果p是一个必要的真理,所以是什么问(即。,that whatever follows from a necessary truth is itself a necessary truth). These two principles seem to have a high degree of intuitive plausibility, and 1 and 2 are theorems in almost all modal systems. The转换规则T是统一的替换,演绎推理和一个规则,如果α的作用定理那么,lα(必需的规则)。这条规则的直观的基本原理是,在一个声音公理系统,预计每一个定理的实例α将不仅仅是真的,但不一定正确——在这种情况下的每一个实例lα将是正确的。

T的简单的定理之一

p⊃米 p,
l(p·问)≡(l p·l 问),
米(p∨问)≡(米 p∨米问),
(l p∨l 问)⊃l(p∨问)(但不是其交谈)
米(p·问)⊃(米 p·米问)(但不是其交谈)

和

l 米 p≡∼米 l∼p,
(pℨ问)⊃(米 p⊃米问),
(∼pℨp)≡l p,
l(p∨问)⊃(l p∨米问)。

有许多模态不定理公式(T),但有一定的必要性和可能性表达真理。其中有lp⊃llp,米p⊃l米p,p⊃l米p。第一个意味着如果一个命题是必要的,它是必要的本身就是一个必要的真理;第二就意味着如果一个命题是可能的,它可能是一个必要的真理;第三意味着如果一个命题是真的,那么不仅是可能的,但它可能是一个必要的真理。这些都是一般论文命题的各种元素的模态特征有(必要性、可能性等)并不是一个偶然而是取决于逻辑方面的考虑。虽然本文可能哲学争议,至少似是而非的,其后果是值得探索的。探索他们的方法之一是建立模态系统上面列出的公式定理。这些公式,就像说,是T的定理;但每个可以不断添加到T作为额外的公理来产生一个新的和更广泛的系统。系统通过添加lp⊃llp被称为TS4;通过增加米p⊃l米p被称为TS5;和添加p⊃l米pT给Brouwerian系统(以荷兰数学家L.E.J.这),以下简称为B。

这四个系统之间的关系如下:S4比T;即。,it contains all the theorems of T and others besides. B is also stronger than T. S5 is stronger than S4 and also stronger than B. S4 and B, however, are independent of each other in the sense that each contains some theorems that the other does not have. It is of particular importance that, if米p⊃l米p添加到T呢lp⊃llp可以派生的作为一个定理,但如果一个人仅仅增加了后者T,前者不能派生。

定理的例子不是定理(T)的S4米p≡米米p,米l米p⊃米p,(pℨ问)⊃(lpℨl问)。定理的例子不是定理S4的S5lp≡米lp,l(p∨米问)≡(lp∨米问),米(p·l问)≡(米p·l问)和(lpℨl问)∨(l问ℨlp)。S5重要特征之一但不是提到的其他系统,任何wff包含一个完整的序列的一元模式操作符(l年代或米年代或两者)可能是相当于同一wff与所有这些运营商删除除了最后一个。

考虑空间排除一个帐户的其他公理系统的模态逻辑。其中一些是弱于T;这种系统通常包含T的公理作为公理或定理,但只有必需的限制规则的形式。另一组包括系统比S4但比S5弱;其中一些已被证明是卓有成效的发展中时间的逻辑关系。另一组包括系统比S4但S5的独立意义的解释。

模态谓词逻辑也可以形成的类似的增加LPC的而不是电脑。

有效性在模态逻辑

为模态wffs定义有效性的任务是复杂的事实,即使真值wff中的所有变量,这不是明显的人应该如何着手整个wff真值的计算。然而,大量的有效性的定义适用于模态wffs得到,每个结果匹配一些公理模态系统,它将作为有效wffs,没有其他人,是这个系统的定理。大多数,如果不是全部,这些帐户的有效性可以被认为是变体的方式给予正式的精度,在每一个需要是真理可能的世界或可能的状态。最简单的定义是这样的:让一个模型是由第一个假设一套(有限或无限)W的世界。在每一个世界,独立于其他的,然后让每个命题变量分配值为1或0的值。在每个世界真理的价值函数计算通常从他们的论点在那个世界的价值。然而,在每一个世界lα是价值如果α值1不仅在那个世界,在每一个其他的世界W,否则有值0;在每一个世界米α是值1如果α值1,世界上或在其他的世界W,否则有值0。这些规则使一个计算值(1或0)在任何世界W对于任何给定的wff,一旦世界上每个变量的值W指定。组成的一个模型被定义为一组世界一起刚刚描述的类型的赋值。wff有效当且仅当它有价值1在每一个世界模型。它可以证明wffs是有效的标准正是S5的定理;为此模型的描述可能被称为S5-models,和有效性是可以叫做S5-validity定义。

T-validity的定义(即。,one that can be proved to bring out as valid precisely the theorems of T) can be given as follows: a T-model consists of a set of worldsW和每个变量赋值在每个世界,像以前一样。它还包括一个规范,为每一个世界W的某个子集W的世界是世界的“访问”。真理功能评估,但是,在每一个世界模型中,lα是1如果α值1的值在这个世界和其他世界W访问它的值,否则为0。在每个世界,米α是值1如果α值1在那个世界或世界上其他一些访问,否则有值0。(换句话说,在计算的价值lα或米α在给定的世界中,没有考虑被α的价值在世界任何一个角落不可以。)一个wff T-valid当且仅当它有在每一个世界,每一个t型值1。

S4-model被定义为一个t型,除了它是必需的可访问性关系transitive-i.e。,,,w₁,w₂,w₃在任何世界W,如果w₁都可以访问w₂和w₂都可以访问w₃,然后w₁都可以访问w₃。wff是S4-valid当且仅当它的值在每个S4-model 1在每一个世界。的S4-valid wffs可以证明是准确S4的定理。最后,一个定义匹配的有效性得到系统B通过要求可访问性的关系是对称的,但没有它传递。

对于所有四个系统,有效决策程序可以给出的有效性。进一步的修改描述的一般方法得出有效性匹配其他公理化定义模态系统,和方法可以适应给有效性的定义直观的电脑。公理化的模态系统,但是,没有满意的有效性已被设计。有效性也可以被定义为各种模态谓词逻辑的定义结合LPC-validity早些时候(见上图在LPC的有效性)与模态系统有效性的相关账户,但基于LPC的模态逻辑,像LPC的本身,一个不可判定的系统。