图论gydF4y2Ba

图论gydF4y2Ba的分支gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba关心网络由线连接的点。的主题gydF4y2Ba图gydF4y2Ba理论有其开端休闲数学问题(gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba数字游戏gydF4y2Ba),但是它已经成为数学研究的一个重要领域,与应用程序gydF4y2Ba化学gydF4y2Ba,gydF4y2Ba运筹学gydF4y2Ba,gydF4y2Ba社会科学gydF4y2Ba,gydF4y2Ba计算机科学gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

图论的历史可能专门追溯到1735年,当瑞士数学家gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba解决了gydF4y2Ba哥尼斯堡桥问题gydF4y2Ba。哥尼斯堡桥问题是一个古老的谜题关于寻找路径的可能性在每一个七桥跨分叉的河流淌过去的一个岛屿,不跨越桥两次。欧拉认为不存在这样的路径。他的证据只引用的物理安排桥梁,但本质上他证明了第一个图论的定理。gydF4y2Ba

图论中使用这个词gydF4y2Ba图gydF4y2Ba不指gydF4y2Ba数据gydF4y2Ba图表,如线gydF4y2Ba图gydF4y2Ba或条形图。相反,它指的是一个gydF4y2Ba集gydF4y2Ba的gydF4y2Ba顶点gydF4y2Ba(即点或节点)和边缘(或线)连接的顶点。当任意两个顶点加入了多个边缘,图像被称为gydF4y2Ba油印gydF4y2Ba。图没有循环和一个任意两个顶点之间被称为边缘gydF4y2Ba简单的图gydF4y2Ba。除非另有规定,gydF4y2Ba图gydF4y2Ba假设是指一个简单的图。当每个顶点连接其他顶点的边缘,图像被称为gydF4y2Ba完全图gydF4y2Ba。在适当的时候,可以分配给每条边方向产生所谓的gydF4y2Ba有向图gydF4y2Ba或有向图。gydF4y2Ba

一个重要的数量与每相关联gydF4y2Ba顶点gydF4y2Ba是它的gydF4y2Ba度,这被定义为边的数量进入或退出。因此,一个循环贡献2度的顶点。例如,图中所示的简单图的顶点都有一定程度的2,而完全图的顶点都是程度上的3所示。知道一个完全图的顶点数其本质特征。出于这个原因,完成图表通常指定gydF4y2BaKgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba,在那里gydF4y2BangydF4y2Ba指的是顶点的数量,和所有的顶点gydF4y2BaKgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba有学位gydF4y2BangydF4y2Ba−1。(翻译成现代图论的术语,欧拉定理对哥尼斯堡桥问题可以重申如下:如果有一个路径沿着边缘的油印gydF4y2Ba遍历gydF4y2Ba每条边一次且仅一次,然后最多存在两个顶点奇怪的学位;此外,如果路径开始和结束在相同的顶点,然后没有顶点会有奇怪的程度。)gydF4y2Ba

在图论的另一个重要概念gydF4y2Ba路径gydF4y2Ba边缘的路线,这是任何一个图。路径可能遵循一个直接两个顶点之间的边,或者它可能遵循多个边缘通过多个顶点。如果有一个路径连接任意两个顶点在一个图,图是联系在一起的。一个路径,在同一顶点没有开始和结束gydF4y2Ba遍历gydF4y2Ba不止一次被称为任何优势gydF4y2Ba电路gydF4y2Ba,或者一个封闭的路径。一次严格按照每条边的电路在访问每个顶点被称为一个gydF4y2Ba欧拉回路gydF4y2Ba被称为欧拉图,图。欧拉图连接,此外,所有顶点甚至学位。gydF4y2Ba

1857年,爱尔兰的数学家gydF4y2Ba威廉·罗文汉密尔顿gydF4y2Ba发明了一种拼图(Icosian游戏),他后来卖给了一个游戏制造商£25。涉及的难题找到一种特殊的路径,后来被称为gydF4y2Ba哈密顿回路gydF4y2Ba十二面体(的边缘gydF4y2Ba柏拉图立体gydF4y2Ba组成的12个五边形的脸),开始和结束在同一角落而完全通过每一个角落。骑士之旅(gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba数字游戏:棋盘上的问题gydF4y2Ba)的另一个例子是一个休闲的问题涉及哈密顿gydF4y2Ba电路gydF4y2Ba。哈密顿图已经更具挑战性比欧拉图描述,因为存在的必要和充分条件哈密顿回路的连通图仍然是未知的。gydF4y2Ba

图论的历史gydF4y2Ba拓扑结构gydF4y2Ba是密切相关的,两个领域有许多常见的问题和技术。欧拉提到他在哥尼斯堡大桥的工作问题的一个例子gydF4y2Bageometria部位gydF4y2Ba——“几何位置”而拓扑思想的发展在19世纪下半叶被称为gydF4y2Ba拓扑学gydF4y2Ba——“分析的位置。“在1750年发现了多面体的欧拉公式gydF4y2BaVgydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2BaEgydF4y2Ba+gydF4y2BaFgydF4y2Ba= 2的数量有关gydF4y2Ba顶点gydF4y2Ba(gydF4y2BaVgydF4y2Ba),边缘(gydF4y2BaEgydF4y2Ba和脸gydF4y2BaFgydF4y2Ba)gydF4y2Ba多面体gydF4y2Ba(固体,就像上面提到的十二面体、多边形)是谁的脸。多面体的顶点和边组成一个图形表面,导致这个概念考虑图等其他表面曲面(固体表面的甜甜圈)和他们如何将表面划分为盘状的脸。gydF4y2Ba欧拉公式gydF4y2Ba很快推广到表面吗gydF4y2BaVgydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2BaEgydF4y2Ba+gydF4y2BaFgydF4y2Ba= 2 - 2gydF4y2BaggydF4y2Ba,在那里gydF4y2BaggydF4y2Ba表示属,或表面的“甜甜圈洞”(gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba欧拉示性数gydF4y2Ba)。考虑到一个表面分成的多边形gydF4y2Ba嵌入式gydF4y2Ba图,数学家们开始研究的方法构建表面,后来更一般的空间,通过粘贴多边形。这是组合拓扑领域的开始,之后,通过法国数学家的工作gydF4y2Ba亨利。庞加莱gydF4y2Ba和其他人来说,发展成被称为gydF4y2Ba代数拓扑gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

图论和拓扑之间的关系导致了子域gydF4y2Ba拓扑图形理论。一个重要的问题在这一领域的事项gydF4y2Ba平面图形gydF4y2Ba。这些图表可以得出dot-and-line图在飞机上(或者,同样,一个球体)没有任何边缘交叉除了在他们相遇的顶点。完整的平面图形有四个或更少的顶点,但完整的图表有五个顶点(gydF4y2BaKgydF4y2Ba_5gydF4y2Ba)或更多的不是。非平面的图形不能画在一个平面或球面表面没有顶点之间的边互相交叉。使用图的点和线来表示图形实际上源于19世纪gydF4y2Ba化学gydF4y2Ba个人,有文化修养的顶点表示gydF4y2Ba原子gydF4y2Ba和连接的线表示gydF4y2Ba化学键gydF4y2Ba(对应程度gydF4y2Ba价gydF4y2Ba),平面性有重要的化学影响。第一次使用,在这gydF4y2Ba上下文gydF4y2Ba这个词的,gydF4y2Ba图gydF4y2Ba归功于19世纪的英国人吗gydF4y2Ba詹姆斯·西尔维斯特gydF4y2Ba数几个数学家感兴趣之一,特殊类型的图表示gydF4y2Ba分子gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

另一类图的集合是完成由两部分构成的图gydF4y2BaKgydF4y2Ba_{米gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2Ba}包括简单的图表,可以分割成两个独立的组gydF4y2Ba米gydF4y2Ba和gydF4y2BangydF4y2Ba顶点,没有顶点之间的边在每组和每个顶点在一组连接边每个顶点在另一组。gydF4y2BaKgydF4y2Ba_5gydF4y2Ba,两偶图gydF4y2BaKgydF4y2Ba_3,3gydF4y2Ba不是平面,证伪一个声称在1913年由英国休闲problemist亨利Dudeney解决“gas-water-electricity”的问题。1930年,波兰数学家Kazimierz Kuratowski证明任何非平面的图必须包含一个特定类型的副本gydF4y2BaKgydF4y2Ba_5gydF4y2Ba或gydF4y2BaKgydF4y2Ba_3,3gydF4y2Ba。而gydF4y2BaKgydF4y2Ba_5gydF4y2Ba和gydF4y2BaKgydF4y2Ba_3,3gydF4y2Ba不能被嵌入在一个球体,他们可以嵌入在一个环面。graph-embedding问题涉及确定的表面图可以嵌入,从而推广了平面化的问题。直到1960年代末的嵌入问题完整的图表gydF4y2BaKgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba解决了所有gydF4y2BangydF4y2Ba。gydF4y2Ba

拓扑图论的另一个问题是gydF4y2Bamap-colouring问题gydF4y2Ba。这个问题是一个著名的产物gydF4y2Ba四色地图问题gydF4y2Ba,问是否可以彩色地图上每一个国家通过使用四个颜色,这样国家共享优势有不同的颜色。问最初由弗朗西斯Guthrie在1850年代,伦敦大学学院的一个学生,这个问题有一个丰富的历史充满了错误的尝试在其解决方案。一个等价的用图的形式,在一个mgydF4y2Ba