递归函数理论的应用

关于有效可计算性的问题自然出现在不同的领域上下文．毫不奇怪，递归函数理论已经发展到不同的方向，并已应用到不同的问题领域。递归的不可解性决策问题对于一阶逻辑说明了一种应用程序。这类最著名的问题涉及所有问题的递归可解性丢番图方程的多项式方程积分系数。这个问题实际上是由希尔伯特在1900年提出的，作为他的主要开放数学问题列表中的第10个问题，尽管有效可计算性的概念对他来说是不可用的。1970年，俄罗斯数学家尤里·马蒂亚塞维奇(Yury Matiyasevich)在美国数学家朱莉娅·罗宾逊(Julia Robinson)早期工作的基础上，以否定的方式解决了这个问题。

一类自然的问题涉及相对可计算性。可能一个图灵机递归地枚举一个给定的集合a，如果它可以访问另一个集合B的所有成员?这种途径可能是实现例如，给图灵机加两个无限两个磁带，一个列出了B的所有成员，另一个列出了B的所有非成员。如果这种递归枚举是可能的，则称A可约为b。相互可约集称为图灵等价。是否所有递归可枚举集都是图灵等价的问题称为波斯特问题。1956年，两位独立工作的数学家理查德·弗里德伯格(Richard Friedberg)解出了这个方程美国以及俄罗斯的安德烈·穆奇尼克。

图灵可约性的等价类也称为不可解度。图表层次结构它们的形式是递归函数理论的主要早期发展之一。递归函数理论的其他主要课题包括特殊类型的递归可枚举集的研究，递归良序的研究和递归结构的研究。