Georg康托尔

在德国的发展，最初完全不同于逻辑但后来与它合并Georg康托的的发展集理论．在巴伦关于无穷小和导数微积分基础的讨论中Augustin-Louis柯西而且卡尔·维尔斯特拉斯康托和理查德绰金发达的方法处理大，而事实上无限的整数和点的集合实数线。尽管布尔人使用了a的概念类在美国，他们很少开发出处理这些问题的工具无限类，没有人系统地考虑类的元素本身就是类的可能性，这是坎托里集合理论的一个关键特征。的概念“真实的”或“封闭的”无限的事物，而不是无限的可能性，是一个中世纪的这个问题也困扰着19世纪的德国数学家，尤其是那些伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯．波西米亚数学家和牧师Bernhard博尔扎诺强调了无限所带来的困难神秘的悖论(1851);“无限的悖论”);1837年，他写了一篇反康德和支持莱布尼兹的非象征逻辑，后来被广泛研究。首先是Dedekind，然后是Cantor使用Bolzano的测量工具，通过一对一映射;使用这种技术，Dedekind屈服了sind和sollen是死于Zahlen吗?(1888);“什么是数字，什么应该是数字?”)无限集合的精确定义。一个集合是无限的，当且仅当整个集合可以与该集合的适当部分一一对应。(De Morgan和Peirce早些时候给出了完全不同但技术上正确的无限域的特征;这些在集合论中并不是特别有用，在德国数学界也没有引起注意。)

尽管康托发展了集合理论的基本轮廓，特别是在他对无限集和实数线的处理中，他并不担心这样一个理论的严格基础——因此，例如，他没有给出集合论的公理——也没有关于控制集合概念和集合形成的精确条件。尽管在康托的作品中有一些暗示，表明他意识到了这方面的问题(比如后来被称为阶级/集合区分的暗示)，但这些困难都是由康托的理论强有力地提出的悖论罗素和意大利数学家塞萨雷·布拉利-福蒂的理论，并首次在后来被称为Zermelo-Fraenkel集合理论中被克服。

其他19世纪的逻辑学家

法国逻辑在这一时期由路易·利亚德和路易Couturat．Couturat的L 'Algèbre de la loggique(1905);逻辑的代数),无限数学(1896);《论数学无穷大》)是德国和英国对无穷大研究的重要总结数理逻辑而他关于莱布尼茨逻辑的著作(1901年)和莱布尼茨之前未出版的逻辑著作(1903年)是逻辑史研究中非常重要的事件。在俄罗斯v.v.b obin(1886)和波列茨基(1884)创立了代数逻辑学派。在英国a巨大的从1870年到1910年，在最好的哲学期刊上发表了大量关于形式逻辑和符号逻辑的著作。这包括威廉·斯坦利·杰文斯，其内涵逻辑在英语传统中是不同寻常的;约翰·维恩他以他的(扩展的)阶级关系图而闻名插图)但他保留了布尔的非包容性类联合操作符;休MacColl;亚历山大·贝恩;苏菲科比;艾米莉·伊丽莎白·康斯坦斯·琼斯;亚瑟·托马斯·谢尔曼;刘易斯·卡罗尔(查尔斯·路特维奇·道奇森);而且怀特海德,他的《通用代数论》(1898)是代数传统中最后一部重要的英语逻辑著作。这项工作几乎没有什么影响罗素的这个概念很快就席卷了整个英语逻辑;罗素受弗雷格、皮亚诺和Schröder的影响更大。旧的非符号用演绎推理的在20世纪，约翰·库克·威尔逊、威廉·欧内斯特·约翰逊、莉兹·苏珊·斯特宾和霍勒斯·威廉·布林德利·约瑟夫等英国主要大学都是传统的代表人物美国拉尔夫·伊顿，詹姆斯·埃德温·克莱顿查尔斯·韦斯特·丘奇曼和丹尼尔·萨默·罗宾逊。

意大利数学家朱塞佩·皮亚诺的贡献比较广泛动力新的，非代数逻辑。他对后来符号逻辑的表记法的直接影响超过了弗雷格和皮尔斯。他早期的作品(如《逻辑篇》)几何钟，第二，奥斯登，格拉斯曼(1888;“根据H. Grassmann的扩张理论的几何微积分”])完全是布尔、Grassmann、Peirce和Schröder的代数传统。19世纪90年代，他在自己的日记中写道，数学复兴，随着越来越多的赞赏的使用量词在Schröder的第一卷和第三卷Vorlesungen，皮亚诺演变出一种量词表示法。这个符号，加上皮亚诺使用的希腊字母ε to表示这是罗素和怀特海所采用的，并用于后来的逻辑学和集合论。尽管皮亚诺本人对弗雷格和罗素的逻辑主义纲领不感兴趣，但他提出的控制自然数结构的五个公设(现在被称为“自然数”)皮亚诺假设)，在皮尔士和戴德金的著作中也有类似的思想，后来被认为是连接逻辑和数学的关键纽带。人们普遍认为，所有的数学都可以从自然数理论中推导出来;如果皮亚诺公设可以从逻辑推导出来，或者从包括集合论在内的逻辑推导出来，那么它的可行性就会得到证明。与他在逻辑学方面的工作同时，皮亚诺写了许多关于通用语言和数学和逻辑中理想符号的特征的文章——所有这些都明显受到莱布尼茨的启发。

19世纪的逻辑学达到了高潮伟大的是第一届国际哲学大会第二届国际数学大会于1900年8月在巴黎连续举行。这两次大会之间的重叠是广泛的，对逻辑和哲学的未来是幸运的。Peano, Alessandro Padoa, Burali-Forti, Schröder, Cantor, Dedekind, Frege，菲利克斯•克莱因、拉德·富兰克林(皮尔斯的学生)、库特拉和亨利。庞加莱是哲学大会的组织委员会成员;为了逻辑的后续发展，伯特兰·罗素也许是最重要的参与者。代数逻辑的影响已经减弱，而非代数符号逻辑、公理化和逻辑学(以及集合论)作为数学基础的重要性正在上升。直到代表大会以及罗素和希尔伯特在美国，数学逻辑缺乏充分的学术合法性。19世纪的逻辑学家没有一个在一流大学获得过重要职位:皮尔斯从未获得过大学的永久职位，戴德金是一名高中教师，弗雷格和康托则留在省级大学。数学家们留下来参加数学大会，就是在这里大卫希尔伯特他介绍了23个最重要的数学未解决问题，其中几个是数学和逻辑学的基础问题，在20世纪上半叶主导了逻辑研究。