Gottlob弗雷格
1879年,年轻的德国数学家Gottlob Frege-whose数学专业,像布尔,是calculus-published也许最好的一本书数理逻辑在19世纪,Begriffsschrift(“概念符号”)。标题从仰卧翻译的莱布尼茨的特色语言的概念。弗雷格的体积小是一个严格的现在被称为一阶谓词逻辑。它包含一个谨慎使用量词和谓词(虽然谓词被描述为函数,暗示Lambert)的技术。它没有显示跟踪的影响,布尔和小老德国传统的符号逻辑的踪迹。可以推测,弗雷格是熟悉仰卧的莱布尼茨的讨论,可能遇到Drobisch和赫尔曼Grassmann的作品,并可能有一个熟悉布尔的作品和兰伯特,但除此之外他无知的历史逻辑。他后来他的系统特征作为特征的灵感来自莱布尼茨的目标语言但不是微积分的原因。弗雷格的符号是独一无二的,问题是二维;这就导致它是小读(见)。
弗雷格是很清楚函数在数学的重要性,而这些形式的基础上他对谓词的符号;他从来没有表现出对德摩根和皮尔斯的关系或以上中世纪的治疗方法。工作了(由施罗德等),但从来没有很积极,和评论总是指责他没有承认德国布尔和年长的象征性的传统;评论写的哲学家斥责他各种得罪统治的理想主义者教条。弗雷格顽固地忽视了批评他符号和坚持出版他的晚期作品使用它,包括他很少有人提及的代表作,Grundgesetze der Arithmetik(1893 - 1903;基本的运算法则)。
后他的第一个作品Begriffsschrift是痛苦的袭击布尔方法(没有意识的改进的皮尔斯,杰文斯、施罗德,和其他人)和自己的防御系统。他的主要投诉布尔是模仿的人工符号更适合数值分析而不是开发一个符号逻辑分析。这项工作是紧随其后的是《死亡Arithmetik(1884);算术的基础),然后通过一系列非常重要的论文在精确的数学和逻辑的话题。1879年之后,弗雷格精心开发了他的立场,所有的数学可能是派生的,或减少基本的“逻辑”后来被称为逻辑主义激进派位置哲学的数学。他认为平行相似的关于数学的还原性集理论在大致相同的时间即便弗雷格总是强调,他是一个概念的内涵的逻辑,而不是扩展和类。他的观点经常被敌视英国外延的逻辑与一般英语倾向唯名论和经验主义,他发现在J.S. Mill等作者。对弗雷格的作品在1900 - 10伯特兰·罗素谁推动了弗雷格的logicist研究计划介绍数理逻辑(1903),然后用怀德海,在数学原理(1910 - 13),但使用Peirce-Schroder-Peano系统符号而不是弗雷格的;罗素的发展和功能的关系非常类似于施罗德和皮尔斯。然而,拉塞尔的配方现在称为“集论的”悖论被弗雷格,也许太容易,粉碎打击他的目标建立数学和科学内涵的,“概念”的逻辑。几乎所有的符号逻辑的进展上半年的20世纪是使用组来完成理论和事实的逻辑,因此主要依靠皮尔斯,施罗德,皮亚诺,Georg康托尔。然而弗雷格的保健和严谨,令许多德国逻辑学家和数学家,包括大卫希尔伯特和路德维希维特根斯坦。尽管他没有制定他的理论的公理形式,弗雷格的派生非常小心和艰苦的,他有时被视为这个公理的传统逻辑的创始人。自1960年代以来广泛弗雷格的作品已被翻译成英文和转载在德国,他们有巨大的影响的新一代数学和哲学的逻辑学家。
恩斯特·施罗德
德国数理逻辑(广义)培养另外两个主要人物在19世纪的故事。赫尔曼的传统Grassmann持续的德国数学家和代数学家恩斯特·施罗德。他的第一个工作,Der Operations-kreis des Logikkalkuls(1877);“业务逻辑演算的圆”),是一个平均分的代数逻辑受到布尔和Grassmann但提出了一个特别清晰,简洁,和谨慎的方式;然而,在字母代表概念内涵的,而不是类或东西。尽管杰文斯和弗雷格抱怨他们眼中的“神秘”关系数值在布尔代数和逻辑,施罗德宣布非常清晰:“当然是一个对比对象的两个操作。他们是完全不同的。在算术中,字母数字,但在这里,他们是任意的概念。”他还用“数学逻辑。“施罗德的主要工作是他的三卷本Vorlesungen超级模代数的逻辑学(1890 - 1905;“讲座逻辑代数的”)。这是一个广泛的,有时原始演示的所有已知的代数逻辑大约在1890年,一起派生成千上万的定理和一个广泛的参考书目的历史逻辑。这是一个外延的逻辑用特殊符号包含”
”(并联皮尔斯的“⤙”;看到),一个包容类联盟的概念和常见的布尔操作和规则。
第一卷是用于外延的基础理论类(施罗德称为理论Gebiete、逻辑“域”术语Grassmann有点暗示的“扩展”)。施罗德是正式的特性产生的微积分特别感兴趣,比如财产他称之为“二元论”(从他1877年的工作进行):定理仍然有效,如果加法和乘法,0和1,换成了例子,一个Ā= 0,一个+Ā= 1,双德摩根定律。第二卷讨论命题与命题逻辑,请参考域次的布尔法律的思想但是使用相同的微积分。施罗德,不像布尔和皮尔斯,区分不同的宇宙类和命题逻辑的情况下,分别用1和{1}的点积。第三卷包含施罗德的功力,但悠闲的逻辑关系的发展,很大程度上借用了皮尔斯的工作。在20世纪的头几十年,施罗德的卷是唯一主要作品在德国以外的符号逻辑上弗雷格,他们有一个巨大的影响重要的人物在德国,如Thoralf阿尔伯特Skolem,利奥波德Lowenheim,朱利叶斯·康尼锡,希尔伯特,好。(弗雷格的影响感到主要通过罗素和怀特黑德数学原理,但这一传统,而次要影响20世纪德国逻辑。)虽然是一个外延逻辑更多英语的传统,施罗德的逻辑展示德国只聚焦在演绎逻辑的倾向;这是一个遗产英语课本的传统总是覆盖归纳逻辑此外,这种特质中幸存下来的作品(通常凌乱)布尔、德摩根,维恩,皮尔斯。